第一类曲线积分 第一类曲线积分的几何意义

第一类是对弧长积分,即定义在弧长上,没有方向.如求非密度均匀的线状物体质量.第二类是对坐标(有向弧长在坐标轴的投影)积分,有方向.如解决做功类问题.假设曲线正向,两者可互换,弧长元dscosθ=dx,dssinθ=dy,(cosθ,sinθ)是沿着正向曲线单位切向量.

对于第一类曲面积分,如果被积函数是1,则积分表示的几何意义就是曲面Σ的面积.如果被积函数不是1(当然也不能是0),则积分有它的物理意义,即曲面Σ的质量,被积函数就是其面密度函数.

因为x^2+y^2=ax 即(x-a/2)+y^2=a^2/4 所以设参数方程为x=(a/2)(1+cost), y=(a/2)sint ds=√[x'(t)]^2+[y'(t)]^2 dt=(a/2)dt 第一类曲线积分可以直接带入,所以 原积分=∫(√ax)ds=∫ √[a((a/2)(1+cost))] *(a/2)dt=(a^2/2) ∫(0->2π) |cos(t/2)| dt=(a^2) ∫(0->π) |cosu| du=2a^2 ∫(0->π/2) cosu du=2a^2

进行第一类曲线积分和第二类曲线积分的转化,只需将第一类曲线积分中ds利用弧微分公式 转化为坐标表示即可.第一类曲线积分是对弧长积分,即定义在弧长上,没有.

高等数学中的第一型曲线积分与第二型曲线积分之间的关系 顺便补充几个知识点:1.两类曲面积分之间的联系类似于两类曲线积分之间的联系.对于平面曲线积分,若曲线.

第一类曲线、曲面积分是在积分曲线每点指定一个标量函数,与线元相乘后求积分. 第二类曲线、曲面积分是在积分曲线每点指定一个矢量函数,与线元矢量点乘之后求积分. 这可以保证两者积出来之后都是实数. 这样,第一类积分中每点指定的函数可以代表密度,在积分曲线或积分域上积分,就得出质量. 而第二类积分中指定的矢量函数可以代表每点力的方向或流量的方向,在积分曲线或积分域上积分,就得出力做的功或流量.

由于曲线积分中积分曲线的方程可以带人到积分表达式中,因此把x=0带人到∫xyds中,可知沿x=0一段的积分等于0,同理沿y=0一段的积分也等于0.现在来看沿x=4一段的积分,由于在直线x=4上dx=0,所以ds=dy,因此这一段积分=∫4ydy(积分限0到2)=2y^2=8,同理沿y=2一段的积分=∫2xdx(积分限0到4)=x^2=16,从而原积分等于这四段积分之和=0+0+8+16=24.

空间曲线的弧长积分,只有化为参数方程是常用的 对于Γ:F(x,y,z)和G(x,y,z) = 0 往往可以设为参数方程:x = x(t),y = y(t),z = z(t) ds = √(dx² + dy² + dz²) dt = √[x'(t)² + y'(t).

区别是:第一类曲面积分是对面积的曲面积分 .第二类曲面积分是对坐标轴的曲面积分.对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的;两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同,第一类曲面积分的积分元素是面积元素ds,例如:在积分曲面σ上的对面积的曲面积分:∫∫f(x,y,z)ds;而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如:在积分曲面σ上的对坐标平面的曲面积分:∫∫p(x,y,z)dxdy+q(x,y,z)dydz+r(x,y,z)dxdz.

二者都能利用对称性化简积分,但是无论需要考虑的因素,化简方法以及结论都有所不同,详细说明如下: