心脏线面积公式 心脏线面积 定积分

r=a(1+cosθ),r'=-asinθ 利用对称性 长度=2∫(0,π)√r^2+r'^2dθ=2∫(0,π)√a^2(2+2cosθ)dθ=2a∫(0,π)√4cos^2(θ/2)dθ=4a∫(0,π)cos(θ/2)dθ=8a∫(0,π)cos(θ/2)dθ/2=8asin(θ/2)|(0,π)=8a 面积=2*1/2∫(0,π)r^2dθ=∫(0,π)a^2(1+cosθ)^2dθ=4a^2∫(0,π)cos^4(θ/2)dθ=8a^2∫(0,π)cos^4(θ/2)dθ/2 (令θ/2=t)=8a^2∫(0,π/2)cos^4tdt=8a^2*3/4*1/2*π/2=3/2*πa^2

将参数方程改写成极坐标方程 ,r=a(1+Cos[t]) ,(零 面积=积分[(1/2)r^2dt]=(1/2)a^2(t-Sin[t])=(a^2/2)[2Pi-零-(零-零)]=Pi*a^2 我的键盘“零”键坏了.

1) y=x^2与y=4的交点为(-2,4), (2,4) 所以面积=∫(-2,2)(4-x^2)dx=[4x-x^3/3](-2,2)=2[8-8/3]=32/32)y=1/x与y=x的交点为(1, 1) 面积=∫(1,3)(x-1/x)dx=[x^2/2-lnx](1,3)=(9/2-ln3)-(1/2-ln1)=4-ln3

心形线围成的图形面积,计算方法如下:心形线极坐标方程为ρ=a(1-sinθ),那么所围成的面积为:S=2x(1/2)∫(-π/2->π/2) ρ²(θ)dθ=∫(-π/2->π/2) a²(1-sinθ)²dθ=3πa²/2 心形线,是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹,因其形状像心形而得名.其极坐标方程为:水平方向: r=a(1-cosθ) 或 r=a(1+cosθ) (a>0) 垂直方向: r=a(1-sinθ) 或 r=a(1+sinθ) (a>0) 其图像和平面坐标的分标段方程为:

心型线公式:r=a(1-sin(x)),x=rcos(sita),y=rsin(sita),

将这个范围的θ分成无穷份dθ 每份对应近似扇形面积0.5p^2dθ 原式等于从0到π/2积分0.5*16*(1+cosθ)^2dθ=积分4cos2θ+12+16cosθdθ=16+6π

ρ(θ) = a(1 + cosθ) 的心脏线的面积为:S=3(πa^2)/2

【参考答案】 r=1+cosθ, r'=-sinθ 利用对称性 长度=2∫(0,π)√r^2+r'^2dθ=2∫(0,π)√(2+2cosθ)dθ=2∫(0,π)√4cos^2(θ/2)dθ=4∫(0,π)cos(θ/2)dθ=8∫(0,π)cos(θ/2)dθ/2=8sin(θ/2)|(0,π)=8 面积=2*1/2∫(0,π)r^2dθ=∫(0,π)(1+cosθ)^2dθ=4∫(0,π)cos^4(θ/2)dθ=8∫(0,π)cos^4(θ/2)dθ/2 (令θ/2=t)=8∫(0,π/2)cos^4tdt=8*3/4*1/2*π/2=3/2*π

将参数方程改写成极坐标方程 , r=a(1+Cos[t]) ,(零<=t<2Pi) 面积=积分[(1/2)r^2dt]=(1/2)a^2(t-Sin[t])=(a^2/2)[2Pi-零-(

基本性质 心脏线是外摆线的一种,其 n 为 2.它亦可以极坐标的形式表示: r = 1 + cos θ 这样的心脏线的周长为 8,围得的面积为3π/2. 心脏线亦为蚶线的一种. 在 .