第一类间断点定义 第一类间断点图像解释

函数在某点的左右极限都存在,则该点为第一类间断点,特别的,若左右极限相等则为可去间断点,若左右极限不等则为跳跃间断点.在这里,函数在0处的右极限不存在.

第一类间断点 设Xo是函数f(x)的间断点,那么 如果f(x-)与f(x+)都存在,则称Xo为f(x)的第一类间断点.又如果 (i),f(x-)=f(x+)≠f(x),或f(x)无意义,则称Xo为f(x)的可去间断点. (ii),f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃间断点. 第二类间断点:函数的左右极限至少有一个不存在. a.若函数在x=Xo处的左极限或右极限有一个为无穷大,则称x=Xo为f(x)的无穷间断点.例y=tanx,x=π/2 b若函数在x=Xo处·的左右极限都不存在且非无穷大,则称x=Xo为f(x)的震荡间断点.例y=sin(1/x),x=0

第一类间断点(左右极限都存在)有以下两种 1跳跃间断点 间断点两侧函数的极限不相等 2可去间断点 间断点两侧函数的极限存在且相等 函数在该点无意义 第二类间断点(非第一类间断点)也有两种 1振荡间断点 函数在该点处在某两个值比如-1和+1之间来回振荡 2无穷间断点 函数在该点极限不存在趋于无穷

就是第一类可去间断点,在可去间断点处函数不一定没有定义,而只要求函数在该点处的极限存在且和该点的函数值不相等即可,由于在该点极限存在,就要求该点的左右极限都存在且相等,而且极限值和函数值不等这一要求,有两种可能的情况:函数在该点无定义或函数在该点虽然有定义但函数值不等于极限值.

看图像,第一类一般是在某点出现断层,或者空点,比如连续的函数上有个地反没有值,或者某一地方出现两个值.第二类一定要出现不确定,就是图像跑到无穷去了,不论那一侧只要出现无穷就是二类,还有一种情况就是震荡,就是在某一点函数值是介于某值之间不知道是多少.简单的说,一类间断函数的值是可以在极限下确定的,可以是一个,也可以是2个,二类的是不可以在极限下确定函数值的.

有导数连续定理.设f(x)在x0的某个邻域上连续,且在该邻域上除去x0这一点之外都可导,其导数为f'(x).如果当x趋于x0时f'(x)有极限,则f(x)在x0这一点也可导,并且有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x).根据这个定理我们马上知道,如果一个函数在某个区间上可导,它的导数在该区间上不会有第一类间断点.换句话说,在区间上有第一类间断点就没有原函数.

第一类跳跃间断点和可去间断点的区别很好理解,就从字面其实就很好记,第一类跳跃间断点左右极限存在且不相等,可去间断点是左右极限存在且相等,但是不等于这点的函数值.

函数间断点是微积分中函数连续性讨论的一个概念,通常是函数在某点没有意义,就是函数的间断点.比如函数y=1/x中,x=0就是一个间断点.

单调函数的任意点必然存在左右极限,这是由单调函数在有限区间上单调有界必有极限得到的,所以单调函数的间断点为什么必是第一类间断点.

f(x)=(x+1)(x-1)/(x-2)(x+1) 间断点x=2 x=-1 x趋向2时 limf(x)=(x-1)/x-2) 不存在,所以是第二类间断点 x趋向-1时 limf(x)=(x-1)/x-2) =2/3,所以是第一类间断点,可去间断点 补充定义 当x=-1 时 f(x)=2/3