大一高数定积分例题 高数定积分经典题库

分段求积分=∫(1,2) x/√(4-x^2)dx+∫(2,3) x/√(x^2-4)dx=-√(4-x^2)|(1,2) +√(x^2-4)|(2,3) =√3+√5

原式=(-1/3)*∫ arcsinx d[(1-x^2)^(3/2)]=(-1/3)*[arcsinx*(1-x^2)^(3/2)-∫ (1-x^2)^(3/2) d(arcsinx)]=(-1/3)*[arcsinx*(1-x^2)^(3/2)-∫ (1-x^2)^(3/2)*(1-x^2)^(-1/2) dx]=(-1/3)*[arcsinx*(1-x^2)^(3/2)-∫ (1-x^2) dx]=(-1/3)*[arcsinx*(1-x^2)^(3/2)-x+x^3/3]+C=x/3-(1/3)*arcsinx*(1-x^2)^(3/2)-(1/9)*x^3+C

这道题目考察换元法 令x=sint,dx=costdt,根(1一x^2)=cost,所以原定积分等于 ∫(cost)^2dt=(1+cos2t)/2 t是零到兀/2 再带入上下限 最后答案等于1/2 望采纳

∫(cos3xcos2x)dx=(1/2)∫(cos3xcos2x+sin3xsin2x)+(cos3xcos2x-sin3xsin2x)dx=(1/2)∫(cosx+cos5x)dx=(sinx)/2+(sin5x)/10+c 类似∫(cosaxcosbx)dx、∫(sinaxcosbx)dx、∫(sinaxsinbx)dx 都可以这样做

∫(-2→2)x*ln(1+e^x)dx=∫(-2→0)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→2)x*ln(1+e^x)dx ∫(-2→0)x*ln(1+e^x)dx 设y=-x,x=-y 原式=∫(2→0)(-y)*ln[1+e^(-y)]d(-y)=∫(2→0)y*ln[1+e^(-y)]dy=∫(2→0)y*ln[(e.

∫[x^2→0]xsin(t^2)dt=x*∫[x^2→0]sin(t^2)dt,用乘积求导法则. 2)(∫[x^2→0]sin(t^2)dt)'用积分限函数求导公式,但积分限是x^2,用复合函数求导法则.是 (∫[x^2→0]sin(t^2)dt)'=-2(x^2)sin(x^4), .

令lnx=t x=e^t ∫cos(π度lnx)dx= ∫e^内tcos(πt)dt= ∫cos(πt)d(e^t)=e^tcos(πt)- ∫e^t(-πsin(πt))dt=e^tcos(πt)+ ∫πsin(πt)d(e^t)=e^tcos(πt)+ πe^tsin(πt)-π^2 ∫e^tcos(πt)dt ∫e^tcos(πt)dt=1/(1+π^2)[e^tcos(πt)+ πe^tsin(πt)] 定积分=1/(1+π^2)[e^tcos(πt)+ πe^tsin(πt)]|容(0,1/2)=1/(1+π^2)[0+πe^0.5-1-0]=1/(1+π^2)(π√e-1)

(6)设p=y',则y''=p·dp/dy py·dp/dy=2p^2 dp/p=2dy/y ln|p|=2ln|y|+C0 ∴p=-C1·y^2 ∴dy/dx=-C1·y^2 ∴dy/y^2=-C1·dx ∴-1/y=-C1·x-C2 通解为,1/y=C1·x+C2(2)对应.

解: 由dy/dx=3-6x 所以y=-3x²+3x+m (其中m为任意的常数) 由于点(1,6)在直线上 所以 m=6 即直线方程为:y=-3x²+3x+6 (2)y=-3x²+3x+6=-3(x-2)(x+1) 从而曲线c和x轴所围成区域的面积=(-1到2的积分)(-3x²+3x+6)dx 求出来为:27/2

∫(0->1) f''(x/2) dx^2=2∫(0->1) x.f''(x/2) dx=4∫(0->1) x.df'(x/2) =4[x.df'(x/2)]|(0->1) -4∫(0->1) f'(x/2) dx=4f'(1/2) -8[f(x/2)]|(0->1)=16- 8[f(1/2) -f(0)]=16- 8(2-1)=16-8=8