常微分方程典型例题 解常微分方程例题

下列方程都是微分方程 (其中 y, v均为未知函数).(1) y'= kx, k 为常数;(2) ( y - 2xy) dx + x² dy = 0;(3) mv'(t) = mg - kv(t);

y(x)=-1+x+2∫(0,x)(x-t)y(t)y'(t)dty(x)=-1+x+2∫(0,x)(x-t)y(t)d[y(t)]两边求导,得:y'(x)=1+2*. dy/dx + P(x)y=Q(x) 的方程称为一阶线性微分方程.其中P(x)、Q(x)为已知函数,其通解.

二阶微分方程,如果题中有y'',y'和关于x的表达式f(x)而没有y,那么就是你说的第一种情况:令p=y',p'=y''直接转化为一阶微分方程; 如果题中有y'',y'和y的线性组合而没有f(x),那么就令p=y',p'=dp/憨贰封荷莩沽凤泰脯骏dx=(dp/dy)·(dy/dx)=p·(dp/dy)

两边同除以cosy的平方,然后做代换令u=tany.d(tany)+x(2tany-x^2)dx=0du/dx+2ux=x^3一阶线性微分方程,会了吧?

首先对Z=2*x*x+3*y*y求偏导 Zx=4x Zy=6y 全微分为 Zx*△x+Zy*△y=4x*△x+6y*△y 全增量为Z(x+△x,y+△y)-Z(x,y) 将x=10 y=8 △x=0.8 △y=0.3代入计算即可

光滑平面上弹簧振子的运动:在弹性限度内,从平衡位置水平拉开距离A后释放,弹簧振子随即震动起来,选平衡位置为坐标原点,弹簧伸长方向为x轴,x=0时开始计时,在任意时刻t,位移为x,物体的运动加速度与所受弹力(f=-kx)的关系服从牛顿第二定律 m(d²x/dt²)=-kx,令d²x/dt²=x'',k/m=ω² x''+ω²x=0 特征方程r²+ω²=0的解为r=±ωi 因此微分方程的解为 x=Ccosωt+Dsinωt 我们可以用三角公式表示为 x=Acos(ωt+a) A,a待定系数 t=0时,x=0,==>0=Acosa==>a=π/2,则x=Acos(ωt+π/2) (cos的最大值是1,A便是振幅)

原式可变为(x^2+y^2)dy^2+d(x^2+y^2)=0即(x^2+y^2)^-1*d(x^2+y^2)=-dy^2以下易得,通解为(x^2+y^2)*e^(y^2)=c(无法写为显函数)

这是欧拉方程,令x=e^{t}或t=ln x 转化为 4D(D-1)(D-2)(D-3)y-4D(D-1)(D-2)y+4D(D-1)y=1,其中D为导数算子d/dt. 上述方程为常系数高阶线性微分方程,求出对应齐次方程的通解后,再求出非齐次方程的一个特解,由于计算复杂,时间有限这里就不详细列出计算过程了,原方程的通解即为齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解.

最后一题可以令y=ux上下相除=dy/dx

y'=dy/dx9yy'+4x=09ydy/dx+4x=0两边同乘于dx9ydy+4xdx=0积分得4.5y^2+2x^2+C=0