求解常微分方程 二阶微分方程的3种通解

微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程.

f(x) + 2∫(0->x) f(t) dt = x^2 x=0, => f(0) =0 两边求导 f'(x) + f(x) = 2x let yg= Ce^(-x) yp= Ax +B yp'= A yp'+yp =2x Ax +(A+B) = 2x A=2 and A+B=0 A=2 and B=-2 通解 f(x) = yg+yp = Ce^(-x) +2x-2 f(0) =0 =>C=2 ie f(x) = 2e^(-x) +2x-2

分享到:收藏推荐 0引言在科学应用中,常需要建立实际问题的数学模型,建立各种变量的常微分方程组及对其求解.微分方程是指方程中未知的是一个变量或几个变量的.

这是一个二阶的非齐次常微分方程.变形为f''(x)-f(x)=x-cosx.先求其齐次常微分方程的解.f''(x)-f(x)=0,其特征方程为λ^2-1=0解得两重根λ1=1,λ2=-1,所以通解y=c1*e^x+c2*e^(-x) c1,c2为常数.再求出一个特解,易知,f(x)=-x+0.5cosx是原方程的一个特解,所以解为f(x)=-x+0.5cosx+c1*e^x+c2*e^(-x) c1,c2为常数.

二阶微分方程,如果题中有y'',y'和关于x的表达式f(x)而没有y,那么就是你说的第一种情况:令p=y',p'=y''直接转化为一阶微分方程; 如果题中有y'',y'和y的线性组合而没有f(x),那么就令p=y',p'=dp/憨贰封荷莩沽凤泰脯骏dx=(dp/dy)·(dy/dx)=p·(dp/dy)

解:1.∵1+y'=e^y ==>y'=e^y-1 ==>dy/(e^y-1)=dx ==>e^(-y)dy/(1-e^(-y))=dx ==>d(1-e^(-. (C是积分常数) ==>1-e^(-y)=Ce^x ∴原方程的通解是1-e^(-y)=Ce^x (C是积分常数); .

常微分方程有很多解法. 比较初级的,就是可分离变量,齐次方程.

1.y²dy=x²dx两边积分即得y3=y3+c 2.dy/y=dx/√(1-x²)两边积分去对数即得y=c√1+x/1-x 3.dy/y=(1+x+x²)dx两边积分去对数即得y=cexp{x+x^2/2+x^3/3} 代入y(0)=e得c=e 所以y=exp{1+x+x^2/2+x^3/3}

方程两边同时才除以x的平方,然后令y/x=u,y=ux,dy/dx=u+x*(du/dx),再用分离常数法.这道题比较简单.

dy/dx=xy/(y^2-x^2) y^2dy-x^2dy=xydx(y^2-x^2)dy=xydx x=yu dx=ydu+udy(y^2-y^2u^2)dy=y^2u*(ydu+udy)(1-u^2)dy=uydu+u^2dy(1-2u^2)dy=uydu dy/y=udu/(1-2u^2) lny=(-1/4)ln|1-2u^2|+lnc y=c/(1-2u^2)^(1/4) y=c/[1-2(x/y)^2]^(1/4) x=0,y=1,c=1 特解y=1/(1-2(x/y)^2) ^(1/4)