微分方程特解设法大全 y 3y 2y e x

y''-3y'=0 方程两边同时乘以2y',考虑到2y'y''=[(y')^2]' 可得[(y')^2]'-6(y')^2=0;这便转化为了关于(y')^2的一阶方程 令(y')^2=u,则du/u=6dx 解得:ln|u/u_{0}|=6x 代入u_{0}=(y'(0))^2=1即:ln[(y')^2]=6x 即:y'=e^{3x};等价于:dy/dx=e^{3x};等价于:dy=e^{3x}*dx 解得:y-y_{0}=(1/3)*e^{3x} 将y_{0}=0带入可得: y=(1/3)*e^{3x}

即xy'+y=e^{x} 即(xy)'=e^{x} 积分得:xy=e^{x}+a 从而得原方程的通解为: y=(1/x)*e^{x}+a/x 特解为y*=(1/x)*e^{x}

解:由y=e^(-∫3/xdx)[∫(2/x³)e^(∫3/xdx)dx + C]→y=(2x + C)/x³ 由y(1)=1→y=(2x - 1)/x³.

共3种情况1. 不是特征根 y*=Qm(x)e^λx2. 是单根 y*=xQm(x)e^λx3. 是二重根 y*=x²Qm(x)e^λx

其实可以用同一种方法.对于右边是P(x)e^(kx)情性,直接设y=f(x)e^(kx), 可以得到关于f(x)的简单方程.

解:y''-5y'+6y=xe^2x的特解形式是y=(ax²+bx)e^(2x) 代入原方程,求得a=-1/2,b=-1 故原方程的一个特解是y=-(x²/2+x)e^(2x).

右端的函数f(t)=48sin(6t)属于类型Ⅱ(m=0,λ=0,ω=6).注意λ+iω=6i是特征根应该设非齐次方程的特解形式为y*=t(acos6t+bsin6t)代入非齐次方程有48sin6t=(y*)〃+36y*=-12asin6t+12bcos6t比较sin6t,cos6t的系数,可得a=-4,b=0所以y*=t(-4cos6t+0)=-4*t*cos6t

特征方程 r^2+1 = 0, r = ± i对于非齐次项 e^x , 特解设为 y = ae^x, 代入微分方程 y'' + y = e^x, 得 a = 1/2.对于非齐次项 cosx , 特解设为 y = x(pcosx+qsinx),代入微分方程 y'' + y = cosx, 得 p = 0, q = 1/2.则特解是 y = (1/2)e^x+(1/2)xsinx

此微分方程为恰当微分方程,整理得 dcosx*cosy+dcosx*cosy=0 通解为2cosx*cosy=c,把x=0,y=pi/4带入得到c=根号2,,所以特解为2cosx*cosy=根号2

特征方程为r²-8r+16=0, 即(r-4)²=0 得r=4为二重根,即齐次方程通解y1=(C1+C2x)e^(4x) 设特解y*=ax+b+cx²e^(4x) 则y*'=a+c(4x²+2x)e^(4x) y*＂=c(16x²+16x+2)e^(4x) 代入方程得:-8a+16ax+16b+2ce^(4x)=x+e^(4x) 对比系数得:16a=1, -8a+16b=0, 2c=1 得a=1/16, b=1/32, c=1/2 所以方程的通解为y=y1+y*=(C1+C2x)e^(4x)+x/16+1/32+1/2x²e^(4x)