求下列二元函数的极限 二元函数求极限例题

二元函数连续是要求函数从“四面八方”逼近一点时均存在极限且极限值相同.这里的这个极限,设是沿直线y=kx逼近(0,0),则为lim(kx²)/(x²+y²)=lim(kx²)/[(k²+1)x²]=k/(k²+1),这个极限值和k有关,即当k取不同.

limxy/[2-√(xy+4)]=lim{xy[2+√(xy+4)]}/[2-√(xy+4)][2+√(xy+4)]=lim(x-->0,y---->0)[xy[2+√(xy+4)]]/(-xy)=-lim(x-->0,y---->0)[2+√(xy+4)]=-4

lxl^2+lyl^2≥2lxyl,所以lxyl≤(x^2+y^2)/2,即 -(x^2+y^2)/2≤xy≤(x^2+y^2)/2, 于是-[(x^2+y^2)^(1/2)]/2≤ xy/(x^2+y^2)^(1/2) ≤[(x^2+y^2)^(1/2)]/2, 而lim[(x^2+y^2)^(1/2)]/2=0,由两边夹定理与原极限等于0

一般说来,证明连续较难,但证明不连续还是比较容易的.只须取不同的路径,使之极限不同就可以说明不连续了.显然 f(0,0)=0 ,取 y=kx (k 为实数,x ≠ 0) ,则 f(x,y)= kx^2/(x^2+k^2x^2)=k/(1+k^2) ,因此 lim(x→0) f(x,kx)=k/(1+k^2) ,可以看出,函数沿不同的方向向原点趋近时,极限不同 ,因此函数在 (0,0) 处不连续.

这个应该没有极限,如果有极限,则沿着任何方向极限应该相同.我们取x=y方向逼进,则极限变成一元极限,很显然当xy ->0时,分母为0,分子不为0,这种情况必然没有极限 再想想,肯定时楼主输入时没有注意加括号.要注意,如果根号后没有加括号,谁也不可能知道xy在根号内如果根号包括xy,则上式可以变为(3+根号(9+xy)) (3-根号(9+xy)) /[xy (3+根号(9+xy)) ]= -xy /[xy (3+根号(9+xy)) ] = - 1/[ (3+根号(9+xy)) ] =-1/6

记u=√(x^2+y^2),则(x,y)→(0,0)时,u→0,问题转化为一元函数极限:lim(u→0) (u-sinu)/u^3,用洛必达法则得结果1/6

令R=x^2+y^2,那么极限就由(x,y)→(0,0)变成R→0+所以原式=lim tanR/R(洛必达法则)=lim [1/(1+R^2)]/1=1

对于幂指函数的极限,常取对数,所以化为e^[ln(1+xy)/(x+y)],用等价无穷小ln(1+x)~x(x→0),则ln(1+xy)替换为xy,得原式=lim e^xy/(x+y)

0因为x平加y平大于等于xy的绝对值,故上式的绝对值小于等于xy分之(x+y).分成两项,即x分之一和y分之一之和,均趋向于零.故得.

lim(y→0,x=ky^2)y^2/2x =lim(y→0,x=ky^2)y^2/(2ky^2)=1/(2k)∴limy^2/2x 是x,y都→0,不存在.