2-范数定义证明 矩阵的2范数怎么计算例题

使用向量2-范数和无穷范数的如下不等式(证明都很容易):① ║X║_∞ ≤ ║X║_2,② ║X║_2 ≤ √n·║X║_∞.于是对任意向量X, 有:║AX║_∞ ≤ ║AX║_2 (由①) ≤ ║A║_2·║X║_2 (由2-范数的定义) ≤ √n·║A║_2·║X║_∞ (由②).再由无穷范数的定义即得║A║_∞ ≤ √n·║A║_2.

任意从属于向量范数的矩阵范数定义,都满足║AB║ ≤ ║A║║B║ 又对任意正整数:║E║=║E^n║=║E*E*E……*E║ ≤ (║E║)^n,得║E║=1

定义:如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立,那么这个范数称为酉不变范数. 容易验证,2-范数和F-范数是酉不变范数.因为酉变换不改变矩阵的奇异值,所以由奇异值得到的范数是酉不变的,比如2-范数是最大奇异值,F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数. 反过来可以证明,所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系: 定理(Von Neumann定理):在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一zd对应关系. 也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数.

矩阵求逆是一个病态问题,即矩阵并不是在所有情况下都有逆矩阵.所以上述式子在实际使用时会遇到问题.可以用SGD(梯度下降法)求一个近似解,或者加入正则项(2范数).加入正则项是我们这里要说的.加入2范数的正则项可以解决这个病态问题,并且也可以得到闭式解,在实际使用时要比用SGD快,并且加入正则化后的好处并不仅仅是这些.加入正则项(2范数)的loss如下:其闭式解为:此式在 \lambda 不为零时,总是有解的,所以是一个非病态的问题,这在实际使用时很好.除了这一点,2范数的正则项还有其他好处,比如控制方差和偏差的关系,得到一个好的拟合,这里就不赘述了,毕竟这里讲的是范数,有兴趣可以参阅相关资料.

反例:零矩阵 如果把严格大于号改成大于等于,那么看奇异值就行了

谱范数是由p-范数诱导出的矩阵范数: 2-范数:║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根,.

2范数就是各项的平方和再开根号

把矩阵按行分块就行了 另,向量的2-范数和向量的F-范数相等,所以这相当于证明F-范数相容

说的不对吧,总共只有一列,怎么还有第一行第二列的元素? ||(a b)^T||^2=a^2+b^2,这是定义.

1、2、无穷范数都行,问的cond是几范数就用a的几范数.