矩阵范数等价性证明 矩阵范数不等式证明

在 |*|_p 的单位球S^(n*n-1)上定义函数 f: S^(n*n-1)--> R^+, f(s) = |s|_q/|s|_p = |s|_q 因为 在|*|_p 的 S^(n*n-1)上 两个范数都>0, 所以定义是成立的,而且 f(S^(n*n-1)) 都>0. 因为 S^(n*n-1)紧,所以 存在 0 即: 在 S^(n*n-1)上, c1‖A‖_p 任给 A属于 R^(n*n),如果A =0, 结论显然,如果 A不等于0, 则 A/|A|_p 属于 S^(n*n-1), 所以 c1‖A/|A|_p‖_p c1/|A|_p*‖A‖_p=> c1‖A‖_p

提示,用A的所有元素的绝对值之和作为参考来进行比较

你首先要知道关于向量范数有 ||x||_oo 1.把||A||_2和||A||_F都用A的奇异值表示,然后用上面的引理2.先取非零向量x满足||x||_oo=||Ax||_oo可以验证右端 再取非零向量x满足||x||_2=||Ax||_2可以验证左端 在不等式放缩的时候都要上面的引理3.考察A的所有元素的模的和即可 这点提示应该足够了吧

矩阵求逆是一个病态问题,即矩阵并不是在所有情况下都有逆矩阵.所以上述式子在实际使用时会遇到问题.可以用SGD(梯度下降法)求一个近似解,或者加入正则项(2范数).加入正则项是我们这里要说的.加入2范数的正则项可以解决这个病态问题,并且也可以得到闭式解,在实际使用时要比用SGD快,并且加入正则化后的好处并不仅仅是这些.加入正则项(2范数)的loss如下:其闭式解为:此式在 \lambda 不为零时,总是有解的,所以是一个非病态的问题,这在实际使用时很好.除了这一点,2范数的正则项还有其他好处,比如控制方差和偏差的关系,得到一个好的拟合,这里就不赘述了,毕竟这里讲的是范数,有兴趣可以参阅相关资料.

<p>数值分析吧,当年我也被这道题难了好久,呵呵</p> <p></p>

任意从属于向量范数的矩阵范数定义,都满足║AB║ ≤ ║A║║B║ 又对任意正整数:║E║=║E^n║=║E*E*E……*E║ ≤ (║E║)^n,得║E║=1

用反证法,如果(I+A)的行列式为0,那么设(A+I)x=0 ,得出AX=-X, A就有特征值-1,那么A的谱半径就大于等于1,则A的范数大于1产生矛盾.还要说明的一点是,矩阵的谱半径小于等于矩阵A的任意相容矩阵范数,所以,题目中说的某种范数,应该是不严谨的

证明:记λ为矩阵A的模最大特征值(谱半径),x为其对应的右特征向量,那么:x'A' * Ax = |λ|² * x'x => |λ| = ||Ax||₂/ ||x||₂<= ||A||₂即矩阵的模最大特征值(谱半径)小于等于矩阵的2范数,再由矩阵范数的等价性命题知,矩阵谱半径不是矩阵范数,证毕!

1、证明步骤:(以证明p等价于q为例) 第一步:证明充分性(即证明“若p,则q”) 第二步:证明必要性(即证明“若q,则p”) 根据前两步,就可以说明p等价于q2、等价性证明有很多,有向量等价性证明、矩阵等价性证明、有理数等价证明、计算机公式等价证明,最关键是按照商品步骤进行就好.

这题的证明关键是利用矩阵2范数和最大奇异值之间的关系.1. 首先证明对于任意的x和y,必存在某个酉矩阵Q满足,y = Q * x.证明:将x和y分别扩充到Cn上的两组酉基X .