收敛数列的有界性 收敛数列的有界性证明

目的是证明收敛数列的有界性. 数列{Xn}收敛到a(不是n=a,),根据极限定义对于任意E>0, 存在正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/N时,所有的Xn都有上限,都要小于E+|a|.就是Xn无限接近a,在n>N之后,所有Xn都小于a加上个正数(E).到此证明了从N开始,数列都是有界的(都小于E+|a|).下面要证明n

收敛数列的有界性是指数列的任何一项的值的范围都是有上界和下界的.即是说数列的任何一项的值总是在两个有限常数之间!

高等数学,按某大家的说法,“玩的就是概念”.对你的问题,首先,由定义,xn->a的含义到底是什么? 即对任意ε >0, 存在正整数n, 对所有满足n > n的xn, 不等式|xn - a | n时|xn| = |xn - a + a| 再次,证明{xn}有界,我们要找出一个m > 0, 对任意的正整数n, |xn| 具体证明有界时,我们只需给出饥处观肺攥镀硅僧亥吉一个具体的界即可,此时取ε = 1 或其它任何的具体数均可,再比较一下剩下的xn就行了.

收敛分为函数收敛以及数列收敛 收敛意思即是在该店存在极限,也就是说在该的邻域内总存在一个数大于该函数或数列在这邻域内减去该点的函数值,这就是它的有界性的体现,可以用确界存在定理来证明,极限的正负没有什么要求lim f(x)=A , A>0或(A<0),则存在δ>0,当x取x0的δ去心 x->x0 邻域时,f(x)>0(或f(x)<0) 也就是说对于函数中任意一点若该点大于或小于0,那么在一个很小的变化的范围内,存在函数值大于或小于0.

收敛的数列{xn},在n→∞时,xn→A,这个A是一个固定的极限值,是一个常数,所以必然有界.但这个有界不是说上下界都有,只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界.有界的数列不一定收敛,最简单的例子xn=sin(n),或者xn=(-1)^n,它们都是有界数列,但n→∞时,xn的极限不存在,所以不收敛.

形象一点理解就是:数列在n之后,全部都落在了【a-1,a+1】里面,所以后面的无穷多个是有界的,又因为落在区间【a-1,a+1】外面的只有有限多个,所以这有限多个肯定有最大值,我们不妨设为m,于是我们再比较m和【a-1,a+1】的大小,取较大的一个不妨设为l为上限,于是就有|xn|《l,这就证明了收敛数列有界

因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数,n>N时,都有 (n>N),从而有 . 取,则对一切的n,都有,所以数列有界. 根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意:有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.

对于“收敛”则“有界”的概念还需要细化一下啊,实际上,数列收敛则数列有界,是对全体{xn}都有界.而,函数收敛的有界性,是一种局部有界性,是:在所取极限的自变量点的附近,函数有界.这样,就可以解释和理解了吧.

因为数列Xn收敛,设Xn收敛于a,根据数列极限的定义,对于ε=1,E正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/<1都成立.于是,当n>N,/Xn/=/(Xn-a)+a / <= / Xn-a / + / a / <1+ / a/ 取M=max( / X1 / , / X2 / ,……. /XN/,1+ / a / ),那么数列Xn的一切xn都满足不等式/Xn/<=M 这就证明了数列Xn是有界的

你好!想想反证法,如果无界,那还会收敛吗?希望对你有所帮助,望采纳.