数列收敛和有界的关系 有界数列不收敛的例子

首先要搞清楚有界和收敛的概念 数列收敛是说它的极限是a,即无限趋近于a.数列有界是说它的值域控制在一个确定的范围内.反例:当有界数列 {xn}为摇摆数列时,如0,1,0,1,0,1,0,1…………时相乘后的数列就不在只趋近一个值了,所以不再存在极限,所以也不再是收敛数列

有界不一定收敛.函数收敛则:1、在x0处收敛,则必存在x0的一个去心领域,函数在这个去心领域内有界.2、当x趋于无穷时收敛,以正无穷为例,则必存在M,使函数.

答:1. 数列收敛,即:存在 N∈N+,使得n>N时,对于任意ε(ε>0),恒有2113:|Xn-a| < ε 成立,其中a就是该数列的极限5261 由此可知:数列收敛则数列极限存在,反之也.

因为数列Xn收敛,设Xn收敛于a,根据数列极限的定义,对于ε=1,E正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/<1都成立.于是,当n>N,/Xn/=/(Xn-a)+a / <= / Xn-a / + / a / <1+ / a/ 取M=max( / X1 / , / X2 / ,……. /XN/,1+ / a / ),那么数列Xn的一切xn都满足不等式/Xn/<=M 这就证明了数列Xn是有界的

首先,楼上说的“收敛一定有界,有界当然不一定收敛.”是它们的关系之一……之二是“单调有界数列必然收敛”.注:楼上说得很好,单调有界序列收敛一般的度量空间中不成立,比如有理数列,不过这是指这样的有理数列不一定能收敛于一个有理数,比如3,3.1,3.14……(所有精度的π的不足近似值)收敛于π.至于它们的区别就比较大了,因为有界是保证有一个范围,能够把任意远处的数都包含进去,而收敛是指任意以某一值为中心的范围都能够把足够远处的数全部包含,大概说就是量词使用的不同吧.

收敛必然有界,反之不一定;连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线.与收敛、有界,没有必然关系,比如,数列是典型的不连续函数,但是,可以收敛、有界;y=.

定义:若存在两个数A,B(设A<B),数列 中的每一项都在闭区间[A,B]内,亦即 ,则称 为有界数列.这时A称为它的下界,B称为它的上界 关于函数f(x)在点x0处的收敛定义.对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b. 此时M只是一个存在的数,可以找到一个这样的数使得|f(x1)-f(x2)|<M成立

有界不一定有收敛{-1,1,-1,1,-1,1,-1,1……} 有界不一定有极限{sin1,sin2,sin3,sin4,sin5……} 数列收敛必有界 数列收敛必有极限 数列有极限必有界 数列有极限必收敛 即 数列有极限数列收敛===>数列有界

收敛分为函数收敛以及数列收敛 收敛意思即是在该店存在极限,也就是说在该的邻域内总存在一个数大于该函数或数列在这邻域内减去该点的函数值,这就是它的有界性的体现,可以用确界存在定理来证明,极限的正负没有什么要求lim f(x)=A , A>0或(A<0),则存在δ>0,当x取x0的δ去心 x->x0 邻域时,f(x)>0(或f(x)<0) 也就是说对于函数中任意一点若该点大于或小于0,那么在一个很小的变化的范围内,存在函数值大于或小于0.

收敛数列,设数列{Xn},如果存在常数a(只有一个),对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|<q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列.有界数列,是数学领域的定理,是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列.有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间,其中分上界和下界.扩展资料:收敛数列与其子数列间的关系:子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M 若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.如果数列{}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.