极坐标算二重积分详解 二重积分极坐标θ范围

1.变量代换x=rcost,y=rsint2.求出极坐标系下积分局域的表达形式(讲x,y代入)3.将被积函数做变量替换,同时dxdy=-rsintcostdtdr(Jacobi行列式消去了一个r,所以是r的一次方)4.在新的积分区域内求二重积分

可以用极坐标代替直角坐标.积分结果几何上为积分函数和积分区域所围成的体积.积分区域可以无限划分为更小的区域.极坐标下,二元函数的几何意义是相同的,即二.

1、考虑到积分区域D的对称性,以及被极函数为奇函数 积分结果为0.2、∫∫(D)sqrt(x^2+y^2)dxdy=∫(-π/2~π/2)dθ∫(0~2cosθ)r*rdr=(8/3)∫(-π/2~π/2)cos^3θdθ=(16/3)∫(0~π/2)cos^3θdθ=(16/3)*(2/3)=32/9

不是很明白你的意思.大概是这样的. 你的错误在定积分∫f(x)dx=g(x),对于一个定积分,积分的结果肯定是与积分变量无关的.你的解答过程中却不是.你应该是这儿的问题. 如你的例题∫(x^2+y)dy=x^2*y+y^2/2, x^2≤y≤√x的定积分是x/2+x^(5/2)-(x^4+x^4/2) 再是积分∫x/2+x^(5/2)-(x^4+x^4/2)dx=1/4+2/7-(1/5*3/2)=33/140 也不知道算对了没有,方法是这样

举个例子计算∫∫x²+y²dxdy 其中面积区域为x²+y²≤1(如果被积分的出现形如x²+y²就可以用极坐标)令x=rcos8(不会打sita的符号,用8代替) y=rsin8.代入原式=∫∫r²d(rcos8)d(rsin8)=∫d8∫ r³dr =∫d8 1/4=1/2π

利用极坐标变换 令x=pcost y=psint 原积分相当于ln(1+p^2)p的二重积分 积分区域是00 结果是1/4π(2ln2-1)

答:原式=∫0到πθ dθ ∫0到2sinθ ρ(4-cosθ-sinθ) dρ=4π-8/3

这个题目不适合用极坐标做,太麻烦,正确的做法是二重积分的换元法:令u=xy,y=y/x,则区域d化作1≤u≤2,1≤v≤√3,需要计算的只是dxdy=|a|dudv,a是雅可比行列式α(x,y)/α(u,v) 如果一定要用极坐标的话,θ的范围自然是两射线y=x,y=√3x的倾斜角对应的区间[π/4,π/3],ρ的范围由xy=1,xy=2决定,化成极坐标方程就是了

先作出积分区域,化为极坐标,直接计算即可

其实极坐标的积分限确定非常容易,你可以按我说的方法试一试. 首先θ的确定一般比较简单,我就不说了,关于r的确定,主要的一点,一定要把边界曲线的方程写为极坐.