24阶循环群的子群个数 24阶循环群的所有子群

证明:设群G是一个循环群,则G必定是由一个元素生成的,取其生成元a,则有G=(a).H是G的一个子群(非空、运算封闭、结合律).如果H是单位元群,则H显然是循.

单位元也称为幺元,群的任何元素和它运算,保持该元素不变,如整数(实数)对普通加法0是单位元,因为对任意整数x,0+x=x,整数(实数)对普通乘法1是单位元,因.

构造法证明:群阶为偶数(设为2n),则群中必有一元素a,a的2n阶为e, a 的1阶,2阶,一直到2n阶必在群中,a的n阶即为阶为2的元素.正常方法:根据sylow第一定理:g是有限群,p是素数,如果p^k||g|,k>=0,那么g中一定有一个阶为p^k的子群.令p=2,k=1,则g有一个2阶子群,所以g中一定有2阶元.

循环群的子群还是循环群.这是由于设G=<a>,G的阶为n,H是G的一个m阶子群,则m│n,设n=mt,则H=<a^t> 由于12的约数有1,2,3,4,6,12,所以有6个不同的子群,设a为G的一个12阶元,则G的所有子群为 G1={e} G2={e,a^6} G3={e,a^4,a^8} G4={e,a^3,a^6,a^9} G5={e,a^2,a^4,a^6,a^8,a^10} G6=G

1、n阶循环群<a>={e,a,a^2,.,a^(n-1)},则a^n=e,e是单位元.生成元除了a,还可以是a^k(1比如n=15时,k可以取值2,那么b=a^2的各个幂次的结果是:b^0=e,b=a^2,b^2=.

质数阶群一定是循环群,而质数的因子只有1与其本身从而质数阶群只有两个平凡子群(单位元及其本身)

这是利用元素幂的性质 即g^i=g^(s-mr) 这一步,是利用等式s=mr+i= g^s*g^(-mr) 这一步,利用幂性质 g^(s+t)=g^s*g^t=g^s*g^(-rm) 这一步,利用数字乘法交换律=g^s*(g^(-r))^m 这一步,继续利用幂性质=g^s*(g^r)^(-m) 这一步,继续利用幂性质

循环群的子群还是循环群.这是由于设G=,G的阶为n,H是G的一个m阶子群,则m│n,设n=mt,则H= 由于12的约数有1,2,3,4,6,12,所以有6个不同的子群,设a为G的一个12阶元,则G的所有子群为 G1={e} G2={e,a^6} G3={e,a^4,a^8} G4={e,a^3,a^6,a^9} G5={e,a^2,a^4,a^6,a^8,a^10} G6=G

任意12阶循环群同构于Z(12) 设元素为{1,a,a^2,.a^11} 其子群如下 {1} {1,a^6} {1,a^4,a^8} {1,a^3,a^6,a^9} {1,a^2,a^4,a^6,a^8,a^10} {1,a,a^2,.a^11} 共6个

是的,因为循环群是加法群,所以其子群皆正规.