15阶循环群的生成元 如何求15阶循环群的子群

解: 设a是阶数为5的循环群的生成元,因在比5小的正整数中有且仅有2,3,4与5互质,所以a4,a3,a2也是生成元,因此生成元个数为4. 设a是阶数为6的循环群的生成元,.

若一个群g的每一个元都是g的某一个固定元a的乘方,我们就把g叫做循环群;我们也说,g是由元a生成的,并且用符号 g=(a) 来表示.a叫做g的一个生成元 设s是群g的一个非空子集,令m是g中所有包含s的子群所组成的集合,即 m={h

基本上所有的抽象代数的书上都会有这条定理:如果群G是交换的,并且阶为p*q(p,q为素数),那么G一定是循环群.证明一般用的是柯西定理或者希洛定理.以下证明用到柯西定理.柯西定理:若G是一个有限群且p是一个可整除G的阶(G的元素数目)的质数,则G会有一个p阶的元素.在本题中15=3*5,所以群中一定有一个三阶的元素a和一个5阶的元素b.那么c=a*b一定是一个15阶的元素.由此可证该群一定是由c生成的循环群.楼主如果对细节还有问题的话,可以给我留言.

方法:观察运算表的主对角线,如果乘法结果是自身,肯定可以排除,然后观察元素的幂(2、3、4、5、6次幂),正好能得到其余5个元,则循环群的生生成元 显然,[3],[5]是生成元

显然群<A,#>,单位元是1 而且2是生成元,因为2¹=22²=2#2=4,2³=2#2#2=8,类似地,求出2的其他幂:2⁴=32⁵=62⁶=122⁷=112⁸=92⁹=52¹⁰=102¹¹=72¹²=2⁰=1 从而<A,#>是循环群.注意,2⁵=6,2⁷=11,2¹¹=7,也是<A,#>的生成元

模15的剩余类加群g的阶是15 所以其子群的阶只能是1,3,5,151阶和15阶子群是平凡子群, 即 {[0]} 和 g 本身.因为3,5是素数, 所以g的3阶和5阶子群必是循环群 g中3阶元有: [5],[10], 它们生成的子群即 { [0],[5],[10] } g中5阶元有: [3],[6],[9],[12], 它们生成的子群是 { [0],[3],[6],[9],[12] } 满意请采纳^_^

记a生成的循环群为,已知||=n为有限数 若a的阶:o(a)=无穷大,则{.a^(-n),.a^-1,1,a,.a^n,.}是的子群,退出||=无穷大,矛盾 从而o(a)为有限数 若o(a)=k 则={1,a,a^2,. a^(k-1)}必成立,从而||=k,从而n=k 即o(a)=n

建议去看近世代数前2章,并且老老实实把后面习题做一遍

6次单位根群U6,这是一个循环群.每个元素的阶分别为1(1),2(a^3),3(a^2,a^4),6(a,a^5)其中6阶的两个元素都是生成元.

模10的剩余类加群是一有限阶循环群,它的子群的个数与10的正因子的个数相等,也就是说只有4个子群,因此除两个平凡子群外,另两个真子群是{1,5}和{0,2,4,6,8},数字分别代表剩余类. 补充: 那个是{0,5}.