ab+bc+ac=1,求(a+1/a)(b+1/b(c+1/c)

1. 已知1/A+1/B+1/C=1/（A+B+C)

1/a+1/b+1/c=1(a+b+c)去分母得：bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc

bbc+bcc+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=0

bc(b+c)+a(b+c)(a+b+c)=0

(bc+a(a+b+c))(b+c)=0

(bc+aa+ab+ac)(b+c)=0

(a(a+b)+c(a+b))(b+c)=0

(a+c)(a+b)(b+c)=0

所以a,b,c三数字中必然有两位数之和是零

第2证也是差不多耐着性子一步步来

a+1/b=b+1/c

a-b=1/c-1/b

a-b=(b-c)/bc

同理：b-c=(c-a)/ac，c-a=(a-b)/ab

∴a-b=(b-c)/bc=(c-a)/abc^2=(a-b)/a^2b^2c^2

∴a≠b≠c，且a-b≠0

∴a^2b^2c^2=1

ab/(a+b)=1/2,bc/(b+c)=1/3,ac/(a+c)=1/4

(a+b)/ab=2,(b+c)/bc=3,(a+c)/ac=4

1/a+1/b=2,1/b+1/c=3,1/a+1/c=4

(1/a+1/b+1/c)=(2+3+4)/2=9/2

1/a=(1/a+1/b+1/c)-(1/b+1/c)=9/2-3=3/2

1/b=(1/a+1/b+1/c)-(1/a+1/c)=9/2-4=1/2

1/c=(1/a+1/b+1/c)-(1/a+1/b)=9/2-2=5/2

所以，

a=2/3,b=2,c=5/2

证明:

1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/abc

=ab+bc+ac

=(1/2)[(ab+bc)+(ab+ac)+(ac+bc)]

≥(1/2)[2(ab*bc)^(1/2)+2(ab+ac)^(1/2)+2(ac+bc)^(1/2)]

=(abc*b)^(1/2)+(abc*a)^(1/2)+(abc*c)^(1/2)

=b^(1/2)+a^(1/2)+c^(1/2)

得证.