求解一道高数题，题目见图，谢谢！求解图片数学题

如图，一道高数题求解，谢谢

分析：易知f(1)=0,不防令x-t+1=u,则x<=u<=1,dt=-du,

那么

J[1,x]tf'(x-t+1)dt

=-J[x,1](x+1-u)f'(u)du

=J[1,x](x+1-u)f'(u)du

=(x+1)J[1,x]f'(u)du-J[1,x]uf'(u)du,

于是原式为：

(x+1)f(x)=xlnx+(x+1)J[1,x]f'(u)du-J[1,x]uf'(u)du,

两边对x求导得：

f(x)+f'(x)(x+1)=1+lnx+(x+1)f'(x)+J[1,x]f'(u)du-xf'(x),

并注意到：J[1,x]f'(u)du=f(x)-f(1)=f(x),代入于是有：

1+lnx-xf'(x)=0,即f'(x)=(1+lnx)/x,

两边同时积分：

f(x)=Jf'(x)dx

=J(1+lnx)/xdx

=J(1+lnx)d(1+lnx)

=(1/2)(1+lnx)^2+C,

得f(x)=(1/2)(1+lnx)^2+C,

由初始条件f(1)=0,得C=-1/2,

于是f(x)=(1/2)(1+lnx)^2-1/2.

注：其中J表示积分符号，[1,x]为积分区间。仅供参考哈，觉得行可采纳。

例如函数f(x)，f(x)定义如下

f(x)=1，x∈Q∩[a,b]

f(x)=-1，x∈(R\Q)∩[a,b]

则|f(x)|=1，在[a,b]上可积

但f(x)在[a,b]上显然不可积

提示：

对于y轴上比最小值大的值a：a>f（a）=m，

因为，f（x）连续，且Lim（x→±∞）=+∞，

所以，在x轴上a的右边必有x1>a，使f（x1）=a，

同理，在x轴上a的左边必有x2

则f（f（x1））=f（a）=m，f（f（x2））=f（a）=m。

具体证明应该用极限和连续表述。