设D={(x,y)|x^2+ y^2<4},求∫D∫3dσ

• I=∫∫(x^2+4y^2+9)=dσ,D={(x,y)|x^2+y^2≤a^2}
• 设函数f（u）连续，区域D={(x,y)|x^2+y^2<=2y},则∫∫f（xy）dxdy化成极坐标的形式是怎么样？
• I=∫∫(x^2+4y^2+9)=dσ,D={(x,y)|x^2+y^2≤a^2}
• 设D={(x,y)|x^2+y^2≤4},则∫∫x^2dxdy=?

I=∫∫(x^2+4y^2+9)=dσ,D={(x,y)|x^2+y^2≤a^2}

I = ∫∫(x^2+4y^2+9)dxdy = ∫<0, 2π>dt∫<0, a>[r^2 + 3r^2(sint)^2 + 9]rdr

= ∫<0, 2π>dt∫<0, a>[r^3 + 3r^3(sint)^2 + 9r]dr

= ∫<0, 2π>dt[r^4/4 + (3/4)r^4(sint)^2 + 9r^2/2]<0, a>

= ∫<0, 2π>[a^4/4+9a^2/2+(3/4)a^4(sint)^2]dt

= ∫<0, 2π>[5a^4/8+9a^2/2-(3/8)a^4cos2t]dt

= [(5a^4/8+9a^2/2)t-(3/16)a^4sin2t]<0, 2π>

= πa^2(9+5a^2/4)

设函数f（u）连续，区域D={(x,y)|x^2+y^2<=2y},则∫∫f（xy）dxdy化成极坐标的形式是怎么样？

利用极坐标变换

x=rcosθ

y=rsinθ

此时xy=r²sinθcosθ

则x²+y²≤2y的极坐标表示为r²≤2rsinθ，即r≤2sinθ

D的图像画出来是个圆心在(0,1)，半径为2的圆，位于x轴上面，与x轴相切

所以D的极坐标表示为D={(r,θ)|0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ}

dxdy=rdrdθ

因此答案是∫（0，π）dθ∫（0，2sinθ）f(r²sinθcosθ)rdr

当然，如果你采用的是 x=rcosθ y=1+rsinθ变换，它不是极坐标变化，只是一种变量替换而已！

如果题目要求用极坐标变换做，你的做法就是错的，如果没有要求，那么你的方法也行，但是变量的变化范围变了而已，即积分的上下限不一样了！

不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

I=∫∫(x^2+4y^2+9)=dσ,D={(x,y)|x^2+y^2≤a^2}

根据对称性，对x^2的积分和对y^2的积分一样。从而被积函数化为2.5（x^2+y^2）。然后使用极坐标，被积函数为2.5r^2+9，面积元为rdrd方位角。

设D={(x,y)|x^2+y^2≤4},则∫∫x^2dxdy=?

d={(x,y)|x^2+y^2≤x}={(x,y)|(x-1/2)^2+y^2≤1/2}

∫∫x^1/2dxdy=∫[0,1]x^1/2dx∫ [-(x-x^2)^1/2,(x-x^2)^1/2]dy

=∫[0,1]x^1/2*2(x-x^2)^1/2dx=∫[0,1]2x*2(1-x)^1/2dx

令t=(1-x)^1/2,x=1-t^2,dx=-2tdt

原式=∫[0,1]2(1-t^2)t*2tdt=4*∫[0,1](t^2-t^4)dt=4*1/3-4*1/5=8/15。

[ , ]表示[下限,上限]

可能运算时出错，方法应该是对的，仅供参考。