齐次方程的通解的步骤 齐次方程的通解公式

该齐次方程组的系数矩阵初等行变换为 A → [1 3 1] [4 -2 3] [0 0 0] A → [1 3 1] [0 -14 -1] [0 0 0] 即方程组同解变形为 x1 + 3x2 = -x3 14x2 = -x3 取自由未知量 x3 = 14, 得基础解系 (11, 1, -14)^T

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组.求向量组的极大无关组的一般步骤:1. 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵;2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵;3.主元所在列对应的原向量组即为极大无关组.求齐次线性方程组通解要先求基础解系,步骤:a. 写出齐次方程组的系数矩阵A;b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵;c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元(n – r 个);d.令自由元中一个为 1 ,其余为 0 ,求得 n – r 个解向量,即为一个基础解系.齐次线性方程组AX= 0:若X1,X2… ,Xn-r为基础解系,则X=k1 X1+ k2 X2 +…+kn-rXn-r,即为AX= 0的全部解(或称方程组的通解).

1.写出系数矩阵2.通过行变换,把左上角的分块变成单位阵,右上角随便,下边都是零3.右面那几排就是基础解系 你最好看看书,我这样说比书上更抽象

解:∵齐次方程y＂-6y'+9y=0的特征方程是r^2-6r+9=0,则r=3(二重实根) ∴此齐次方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x) (c1,c2是常数) ∵设原方程的解为y=(ax^3+bx^2)e^(3x) 代入原方程,得(6ax+2b)e^(3x)=(x+1)e^(3x) ==>6a=1,2b=1 ==>a=1/6,b=1/2 ∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一个解 故原方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x),即y=(x^3/6+x^2/2+c1x+c2)e^(3x).

因为 非齐次线性方程组ax=b 有3个线性无关的解向量 所以 ax=0 的基础解系含 3-1 = 2 个向量(1/2)(b+c) 是非齐次线性方程组的解 b-a,c-a 是 ax=0 的解-- 这是解的性质, 直接代入方程验证即可 又由 a,b,c 线性无关得 b-a, c-a 线性无关 所以 b-a,c-a 是 ax=0 的基础解系.故通解为 (1/2)(b+c) k1(b-a)+k2(c-a).

由积分解出u=g(x)+c,代入(2)式即得齐次方程的通解:y=xg(x)+cx;然后示原方程的情况,求出一个特解y*;那么原方程的通解即为y=xg(x)+cx+y*.

设出一般形式,然后将解带入用待定系数即可

系数矩阵:1 1 -1 -1 2 -5 3 -27 -7 3 2 r2-2r1, r3-7r1 得:1 1 -1 -1 0 -7 5 00 -14 10 9 r3-2r2:1 1 -1 -1 0 -7 5 00 0 0 9 矩阵的秩为3,n=4,基础解劝系含一个解劝向量.可取x3为自由未知量,可任给x3以非零值,而求得一解劝,即的基础解系.为方便,,取x3=7,得解向量:z=( 2, 5, 7, 0)(转置) 而通解为:X=kz.

系数矩阵 A = [1 2 1 -1] [3 6 -1 -3] [5 10 1 -5] 行初等变换为 [1 2 1 -1] [0 0 -4 0] [0 0 -4 0] 行初等变换为 [1 2 0 -1] [0 0 1 0] [0 0 0 0] 方程组同解变形为 x1+2x2-x4=0 x3=0 即 x1=-2x2+x4 x3=0 取 x2=-1,x4=0,得基础解系 (2,-1,0,0)^T; 取 x2=0,x4=1,得基础解系 (1,0,0,1)^T. 则方程组通解为 x=k(2,-1,0,0)^T+c(1,0,0,1)^T, 其中 k,c 为任意常数

这个用特解概念,满足方程的解就是特解.用解的结构,可以看出特解就是-1,1,-2.试一试-1就是特解.