换元积分法求不定积分 第一类换元法例题30道

令e^x=t,则x=lnt,所以dx=dt/t,因此I=积(dt/(t^2+1))=acrtan t+C=arctan(e^x)+C(C为任意常数) 其实本题不用换元法也可以,分子分母同时乘以e^x,然后凑微分求解,效果一样

∫ arctanx dx = x*arctanx - ∫x darctanx

0.5dx^2=0.5*(x^2)'dx=0.5*2xdx=xdx 因为(u+1)'=u'=u'+1'=u'+0=u' 所以du=d(u+1)

换元积分法(Integration By Substitution)是求积分的一种方法,主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易,从而来求较复杂的不定积分.它是由链式法则和微积分基.

这要视乎你用的是哪一种方法,这题用凑微分法也行,用第二类换元法也行凑微分法:∫x/(4+x²) dx = ∫1/(4+x²) d(x²/2) = (1/2)∫1/(4+x²) d(4+x²) = (1/2)ln(4+x²) + c第二类换元法:let x=2tanθ => dx=2sec²θ dθ,sinθ=x/√(4+x²),cosθ=2/√(4+x²)∫x/(4+x²) dx = ∫(2tanθ)(2sec²θ)/(4sec²θ) dθ = ∫tanθ dθ= ln|secθ| + c= ln|√(4+x²)/2| + c= ln|√(4+x²)| - ln2 + c= (1/2)ln(4+x²) + c''

∫1/(4+x^2)^(1/2)dx=∫1/(1+(x/2)^(1/2)d(x/2) t=x/2=∫1/(1+t^2)^(1/2)dt=∫(1/1+(tana)^2)^(1/2)d(tana)=∫cosa(1+tanatana)da=∫(1/cosa)da=2∫1/[1-tan(a/2)^2]d(tana/2)=ln(tan(a/2)+1)-ln(tan(a/2)-1)+C=ln(x+(x^2+4))+C

第一类主要是简单分式 有那种根号x的 第二类主要是根号下a平方+x平方 那些

(12)换元法,如下图: (14)猜不出分母的根号里面是什么 如果是个常数的话,可以直接凑微分 (22)三角换元 过程如下图:

换元法:1.设√2ⅹ=t,则x=t^2/2;2.代入换元积分;3.裂项后用到幂函数和自然对数的导数公式;4.具体步骤如下图

主要有换元法,分部积分法.用换元法求不定积分技巧性比较强,需要有一定的观察能力和感觉,一般来说,带根号的就想办法(用三角代换)去掉根号.