一道二重积分的题目？ 二重积分题目
一道简单的二重积分的题目，高手帮帮忙
∫（上限0.2，下限0）[∫（上限x，下限0）*25*e的（-5y）次方*dy]*dx
=∫（上限0.2，下限0）[-5*e^(-5y)|(x,0)]*dx
= 5∫（上限0.2，下限0）[1-e^(-5x)]*dx
= 5(0.2-0)-5∫（上限0.2，下限0）e^(-5x)*dx
= 1+e^(-5x)|(0.2,0)
= 1+(e^(-1)-1)
= e^(-1)
一道二重积分的题目 求详解
分享一种解法。积分区域D的面积SD=πR²-πR²/2=πR²/2。
由积分中值定理，有∫∫D[sin(y²+2xy²)]dxdy/(y²+xy²)=SD*f(ζ,η)，其中，(ζ,η)∈D。
而，R→0时，(ζ,η)→(0,0)。∴原式=(π/2)lim[(ζ,η)→(0,0)][sin(η²+2ζη²)]/(η²+ζη²)。
又，(ζ,η)→(0,0)时，sin(η²+2ζη²)~η²+2ζη²。∴原式=π/2。
供参考。
关于双重积分的一道题目
∫∫（D）e^（x+y）dxdy=∫（-1，0）e^xdx∫（-x-1，1+x）e^ydy
+∫（0，1）e^xdx∫（x-1，1-x）e^ydy
=∫（-1，0）e^x[e^（x+1）-e^（-x-1）]dx
+∫（0，1）e^x[e^(1-x)-e^(x-1)]dx
=∫（-1，0）[e^（2x+1）-e^（-1）]dx
+∫（0，1）[e-e^(2x-1)]dx
=[e^（-1）-e]/2+e^（-1）-e+[e-e^（-1）]/2
=1/e-e.
求解一道2重积分的题目，高手进！！！
解:令t=arcsinx,则有x=sint,故dx=costdt(第二换元法)
原式=∫{t[1 (sint)^2]}costdt/[(sint)^2×cost]
=∫t[1 (csct)^2]dt
=∫tdt ∫t(csct)^2dt
=(1/2)t^2 C1 ∫-td[cot(t)]
=(1/2)t^2 C1 [-tcot(t) ∫cot(t)dt](分部积分法)
=(1/2)t^2 C1-tcot(t) ∫(cost/sint)dt
=(1/2)t^2 C1-tcot(t) ∫(1/sint)d(sint)
=(1/2)t^2 C1-tcot(t) ln|sint| C2
=(1/2)t^2-tcot(t) ln|sint| C
代入有:
原式=(1/2)(arcsinx)^2-(arcsinx)cot(arcsinx) ln|x| C
=(1/2)(arcsinx)^2-(arcsinx)√(1-x^2)/x ln|x| C
注:此题中主要使用了不定积分的第二换元法和分部积分法