全微分方程的通解步骤 二元函数全微分公式

一阶非齐次线性常微分方程,通解有公式可用啊 或者用常数变易法: 先解dy/dx+y/x=0,分离变量dy/y=-dx/x,两边积分lny=-lnx+lnc,所以y=c/x 设原方程的解是y=c(x)/x,代入方程得c'(x)=x^2,所以c(x)=1/3*x^3+c 所以,原方程的通解是y=(1/3*x^3+c)/x=1/3*x^2+c/x

(2xcosydx-x²sinydy)+(y²cosxdx+2ysinxdy)=0,(cosydx²+x²dcosy)+(y²dsinx+sinxdy²)=0,d(x²cosy)+d(y²sinx)=0,d(x²cosy+y²sinx)=0,所以,通解是x²cosy+y²sinx=C.

解:∵y'=e^(x+y) ==>y'=e^x*e^y ==>e^(-y)dy=e^xdx ==>e^(-y)=C-e^x (C是积分常数) ==>y=-ln|C-e^x| ∴原微分方程的通解是 y=-ln|C-e^x| (C是积分常数)

由于P=x2+y,Q=x-2y满足Qx=Py,因此是一个全微分方程 ∴存在函数u(x,y),使得du=(x2+y)dx+(x-2y)dy ∴u(x,y)=∫ [(0,0),(x,y)] (x2+y)dx+(x−2y)dy=∫ [0,x]x2dx+∫[0,y](x−2y)dy=1/3x^3+xy−y^2 而du=0,因此u(x,y)=C,故 x3 /3+xy−y^2=C

xy''+3y'=0 y'=0是解,此时y=c y'≠0时,方程化为y''/y'=-3/x.两边积分lny'=-3lnx+lnc1,所以y'=c1/x^3,所以y=-c1/(2x^2)+c2 所以微分方程的通解是y=-c1/(2x^2)+c2,c1,c2是任意实数

看着是齐次的

令v=u-gmm^2/p^2则原方程等价于:d^2v/da^2+v=0 方程两边同乘以2dv/da,可得:d/da[(dv/da)^2+v^2]=0 积分得:(dv/da)^2+v^2=c 要明白上面方程左边大于或等于零,.

y' - y/x = 2x² e^∫ (-1/x) dx = e^-ln(x) = 1/x y'/x - y/x = 2x (y/x)' = 2x xy = x² + C y = x³ + Cx

首先,只有线性的微分方程才可以这样解,非线性的不行.对于线性微分算子l,l[u(t)+v(t)]=l[u(t)]+l[v(t)],所以如果x1(t)和x2(t)是方程l[x(t)]=f(t)的任何两个解,必有l[x1(t)-x2(t)]=0.

特征方程 x^2+1=0解得 x=i 和x=-i 通解 c1*e^ix+c2e^(-ix)+c=c1sinx+c2cosx+c 代入y＂+y+1得到 c=1 y(0)=c1*sin(0)+c2*cos(0)+1=c2+1=0 c2=-1 y'(0)=c1*cos(0)-c2*sin(0)=c1=.