利用定积分定义求极限 定积分求极限例题

答案如下图所示: 当极限的表达式里含有定积分时,,常将这种极限称为定积分的极限.对于这类定积分的极限,以往求极限的各种方法原则上都是可用的. 所不同的是.

把1/n放进求和号里面,你会发现整个极限刚好是＂根号下(1+x)＂在[0, 1]上的定积分(把[0,1]区间n等分、每个小区间取右端点做成的积分和的极限).所以,原极限=根号下(1+x)从0到1的定积分=积分号下“根号(1+x)”d(1+x)=2/3 (1+x)^(3/2)上限1下限0=2/3 [2^(3/2)-1].

定积分定义里面将的很清楚,就是无限分割取极限用矩形分割法然后把矩形垒和就是定积分,而积分区间从【0,1】是由于1/n中n从1到正无穷故积分上下线从0到1.

1、利用定积分求极限: 2、举例说明:

x→0时,积分上限x→0,这样积分上下限相等,根据牛顿-莱布尼茨法则,结果为 0

这是个很标准的利用定积分求极限..把0到π分成无穷多分,然后底乘于高,实际上求得就是0到π间sin(x)的面积..

对照定积分的定义式即可找出被积函数和积分区间,详解参考下图:

lim(n趋向于无穷大)(1+√2+√3+…+√n)/n√n=lim(n趋向于无穷大)1/n*(√1/n+√2/n+√3/n+…+√n/n)=∫(0,1)√xdx=2/3*x^(3/2)|(0,1)=2/3

1、本题的解答方法是运用定积分的定义,化无穷级数的极限计算为定积分计算;2、转化的方法是,先找到 dx,其实就是 1/n;3、然后找到 f(x),这个被极函数,在这里就是 根号x;4、1/n 趋近于0,积分下限是0;n/n 是 1,积分上限是 1.具体解答过程如下:

原式=sum(1/n^2 根号(kn)) 把其中一个n除到根号内部去得到= sum(1/n 根号(k/n)) 对比定积分定义,如果用dx表示1/n, k/n表示kdx 则这个式子恰好是 函数f(x)= 根号(x)在(0,1)上的定积分 所以Sf(x)dx = 2/3 根号(x^3) |0,1 = 2/3