求极限的等价代换公式 高数极限公式大全

还有当x->0时,tanx/x=1,arctanx/x=1 lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e lim(x->∞)(1+1/x)^x=e lim(x->0)[x*sin(1/x)]=0 或者lim(x->∞)[(1/x)*sinx]=0 等价无穷小代换, 当x→0时, sinx~x tanx.

只有是乘除法的式子 等价无穷小代换才能使用的 比如x趋于0的时候 sinx,e^x-1,ln(1+x)等等 都可以替换为x 而1-cosx替换为0.5x² 而直接的加减不能使用

等价,即两者的比极限为1

考研题呀,不然没有这么难呢,要两次用泰勒展开式=lim《x->0》{e^[(1/x)*ln(1+x)]-e}/x 化为指数对数式 ~lim《x->0》{e^[(1/x)*(x-x^2/2)]-e}/x 对数函数用等价无穷小代替,精确到二阶无穷小,=lim《x->0》{e^[1-x/2)]-e}/x 把 1/x 乘进去,=lim《x->0》{e*[e^(-x/2)-1]}/x 提取一个e,~lim《x->0》{e*[(1-x/2)-1]}/x 应用指数的泰勒展开式,取两项, ~lim《x->0》{e*[-x/2]}/x =-e/2

如果你是本科生,那么只要知道 在因式乘积的情况下,每个因式都可以用等价无穷小替换.实际上,有时候加法也是可以的.之所以这个替换这么不容易找规律,是因为,等价无穷小替换是基于泰勒公式的.对于考研的学生来讲,如果能熟练运用泰勒公式,相当比例的极限问题可以秒杀,像08年的大题,第一题,口算即可.泰勒公式只需要展开到第二项.求极限要达到一个境界,不用罗比达法则(因为考研的题目,就是像让同学用洛必达,掉进陷阱.)泰勒公式才是求极限的最好工具.

(5)原式-->[(1/3)tanx*x^2/2]/{tanx(1-cosx)}-->(1/6)x^2/(x^2/2)-->1/3.1-cosx=2[sin(x/2)]^2等价于x^2/2,tanx等价于x.

sinx~x~tanx~ln(1+x)~e^x-1~arcsinx~arctanx1-cosx~1/2x^2,大概就是这些了,如果和你书上的一样,说明现在的书都是抄别人的.

limx→0sinx^2/(1-cosx)=limx→0 x^2/(x^2/2)=2

这样的题目指接板用罗比达法则即可,用不着等价无穷小代换 lim(x→0)[(sinx-x)/x³]=lim(x→0)[(cosx -1)/(3x²)] =lim(x→0)[(-sinx)/(6x)] =-1/6

原式 = lim ((1+sinx)^1/sinx)^(sinx/x)=e^1=e