欧拉公式推导过程 欧拉公式详细证明

e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数. 这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到: e^iπ+1=0.

欧拉公式有4条 (1)分式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c (2)复数 由e^iθ=cosθ+isinθ,得到: sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 (3)三角形 设r为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=r^2-2rr (4)多面体 设v为顶点数,e为棱数,是面数,则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数,例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体

推导过程 这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式,其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式 在e^x的展开式中把x换成±ix.所以 由此: , ,然后采用两式相加减.

欧拉公式的证明著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式.原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系,而在复数域中却发现了他们可以相互.

已知三角形ABC中,外接圆圆心O,半径R.内接圆圆心I,半径r.设d为O到I的距离.求证:d²=R(R-2r). 设角OAB=q, r=(R+d)sinq, r+d=Rcos2q 再由cos2q=1-2(sinq)²,得到(d+R+r)[d²-R(R-2r)]=0 因为OI<OA,d又不等于-R-r,所以d²-R(R-2r)=0所以d²=R(R-2r)

其实,名字叫做欧拉公式的公式有很多.不过在几何学中,欧拉公式指的是——简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系:V+F-E=2.我们所学的几何体,如棱柱、.

e^ix=cosx+isinx 是用无穷级数的方法: e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+. e^ix=1+ix-x^2/2-ix^3/6+. 又因为sinx=x-x^3/6+.,cosx=1-x^2/2+.(简略写出,具体的要求级数的通项) 代入e^ix,结果就得到欧拉公式

方法一:用幂级数展开形式证明,但这只是形式证明(严格的说,在实函数域带着i只. 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 .

其实,如果你仔细看书的话,凡是称为“证明”的书上都会把“证明”两个字打上引. 但这不是逻辑的证明,而只是说明通过欧拉公式来定义的复数域上的指数函数是合理.

本题将多次降到一次方程:(sinX)^3=[(sinX)^3-cosxcosxsinx]+cosxcosxsinx =-sinxcos2x+cosxcosxsinx =-sinxcos2x+(sin2xcosx)/2 =(sin2xcosx-2sinxcos2x)/2 =(sinx-.