欧拉公式的简单证明 欧拉公式推导过程

用拓朴学方法证明欧拉公式 尝欧拉公式:对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体),假 设F,E和V分别表示面,棱(或边),角(或顶)的个数,那么 .

其实,名字叫做欧拉公式的公式有很多.不过在几何学中,欧拉公式指的是——简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系:V+F-E=2.我们所学的几何体,如棱柱、.

e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数. 这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到: e^iπ+1=0.

欧拉公式的证明著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式.原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系,而在复数域中却发现了他们可以相互.

方法一:用幂级数展开形式证明,但这只是形式证明(严格的说,在实函数域带着i只是形式上的) 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂.

欧拉公式有4条 (1)分式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c (2)复数 由e^iθ=cosθ+isinθ,得到: sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 (3)三角形 设r为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=r^2-2rr (4)多面体 设v为顶点数,e为棱数,是面数,则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数,例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体

证明1: (归纳面) 将一个图先 ＂嵌入＂ 二维平面得到图G.当G只有一个面时 : E(1) = V(1) - 1 + F(1) - 1 当G有N个面时,设: E(N) =V(N-1) - 1 +F(N-1) - 1 我们去除一条.

e^ix=cosx+isinx(欧拉公式)的证明: 因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 数学史上的五朵金花就是指e,π,i,1,0.

三角形的欧拉公式有多种证法的,可以用解析也可以用平面几何的知识.平面几何的证法不太容易想到,但证法是很容易的,初中生就能看懂.解析的方法就是建立平面直角坐标系后设出三个点的坐标,再计算出外心,内心,重心的坐标.这虽然说起来简单,但算起来也是有点计算量的.下面是平面几何的证法.baike.baidu/view/145768.htm

V=顶点 F=面 E=棱 证明思路一:逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E. 先以简单的四面体ABCD为例加以说明.1、去掉一个面,再将它压缩为平面图形.四面体顶点.