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求解复合函数单调性难题,之三 复合函数单调性怎么判断

求解复合函数单调性难题,之三复合函数单调性怎么判断

求高一数学必修一复合函数单调性的问题(例题3道)

解析:

y=xe^x

y'

=x'e^x+xe^x

=(1+x)e^x

=0

⇒x=-1

x<-1时,y'<0,y单调递减;

x=-1时,y'=0,y取得极小值-1/e;

x>-1时,y'>0,y单调递增

PS:

附图y=xe^x

求复合函数的单调性的疑问

单调性的规律:

(1)如果函数y=f(u)和u=g(x)同为增函数或同为减函数,那么复合函数y=f[g(x)]为增函数!

(2)如果函数y=f(u)和u=g(x)其中一个是增函数,另一个是减函数,那么复合函数y=f[g(x)]为减函数!

注意:增区间或减区间,必须在定义域内!

例:判断 y=log3(-3x-2)的单调性,并求出单调区间?

解:(1)首先设中间变量:设 u=-3x-2, 则y=log3(u)

函数定义域 -3x-2>0 所以 x<-2/3

u=-3x-2在(-∞,-2/3)上是减函数,所以在(-∞,-2/3)上x单调增,则u单调减,

y=log3(u)(u>0)因底数大于1所以为增函数,在(-∞,-2/3)区间上u单调减,则y单调减。

综上所述可知,在(-∞,-2/3)区间上x单调增,u单调减,y单调减

因此,x单调增,则y单调减,所以y=f(x)=log3(-3x-2)在(-∞,-2/3)上为减函数

则y=log3(-3x-2)的减区间为(-∞,-2/3)