求下列微分方程的特解 非齐次微分方程的特解

令y'=p(y),则y''=p*dp/dy,原微分方程化为:y^3*pp'+1=0,即pdp=-y^(-3)dy,两边积分得1/2*p^2=1/2*y^(-2)+1/2*c1由x=1时,y=1,p=y'=0得c1=-1,所以p^2=y^(-2)-1,y'=p=±√(1-y^2)/y分离变量:±y/√(1-y^2)dy=dx两边积分:±√(1-y^2)=x+c2由x=1时y=1得c2=-1,所以:±√(1-y^2)=x-1两边平方得原微分方程的特解:(x-1)^2+y^2=1

微分方程的特解求法如下:f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0) 则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,.

解:1.设原方程的特解是y=Ae^x ∵y''=y'=y=Ae^x 代入原方程得2Ae^x=e^x ==>2A=1 ==>A=1/2 ∴原方程的一个特解是y=e^x/2 2.设原方程的特解是y=Ax³+Bx²+Cx ∵y'=3Ax²+2Bx+C y''=6Ax+2B 代入原方程得6Ax+2B+3(3Ax²+2Bx+C)=x²+1 ==>9A=1,6A+6B=0,2B+3C=1 ==>A=1/9,B=-1/9,C=11/27 ∴原方程的一个特解是y=x³/9-x²/9+11x/27

y' - xy/(1+x²) = 0的解能用分离变量法求出来,是lny = 1/2 ln(1+x²) + C就是y = k√(1+x²)再设y' - xy/(1+x²) = x + 1的通解是y = f(x)√(1+x²)代入原方程,得到f'(x)√(1+x²) .

y''+3y'+2y=3e^(-2x) (1)先求齐次方程的通解 特征方程 r²+3r+2=0 (r+2)(r+1)=0 得r=-1或r=-2 所以齐次通解y=c1e^(-x) + c2e^(-2x) (2)再求非齐次的特解 根据已知λ=-2是特征方.

先解 y'-y=0 得 y=C e^x设 y'-y=2cos2x 的一个特解为 y1= a cos2x +bsin2x 代入方程:-2a sin2x +2b cos2x - acos2x - b sin2x =2cos2x2a+b =0 , 2b-a =2a= - 2/5b= 4/5y=Ce^x -(2/5) cos2x + (4/5)sin2xy(0)=0 => C=2/5 y=(2/5)e^x -(2/5) cos2x + (4/5)sin2x

求下列微分方程的特解:dy/dx=y/(2√x),y|x=4=1解:分离变量得dy/y=dx/(2√x);两边取积分得lny=∫dx/(2√x)=√x+C代入初始条件得0=2+C,故C=-2;于是得原方程的特解为y=e^[(√x)-2]

方程 dy/dx+p(x)y=q(x)  叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的).如果 q(x)恒等于0 ,则方程称为齐次的;如果 q(x)不恒等于零,则方程称为非齐次的.、 例如(1+x^2)dy=(x+y)dx dy/dx=(x+y)/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/(1+x^2) dy/dx-y/(1+x^2)=x/(1+x^2) p(x)=-1/(1+x^2) q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0 所以是一阶线性非齐次方程

很简单 解答如下 解:xy'+y=x^2+2化为(x^2-y+2)dx-xdy=0 可以令m(x,y)=x^2-y+2,n(x,y)=-x m(x,y)关于y的偏导是-1,n(x,y)关于x的偏导是-1,则该微分方程是恰当方程 令初始条件y.=y(x.) 得到(x,x.)∫(x^2-y+2)dx-(y,y.)∫x.dy=0 从而得到 通积分x^3/3-yx+2x=c(c为常数) 这里说明的是,计算到通积分即可,通积分是通解的隐函数表达形式. 也可以写成通解的形式,但会遇到x是否为零的讨论,所以还是写成通积分的形式较为简单.

(1)y′′+2y′=x^2+1 特征方程r^2+2r=0 根是0,-2 由于0是根,故特解形式:y*=x(Ax^2+Bx+C)(2)y′′-6y′+9y=e^3x 特征方程r^2-6r+9=0 根是3,3 由于e^3x中的3是二重根,故特解形式:y*=Ax^2e^3x