求积分上限函数的导数 积分上限函数求导公式

[∫[0,x] f(t)dt]'=f(x) 即:变动上限积分 对 变动上限 的导数,等于将变动上限带入被积函数.例:F(x)=∫[0,x] sint/t dt 尽管 sint/t 的原函数 F(x) 无法用初等函数表示,但F(x)的导数却可以根据【变动上限积分求导法则】算出:[F(x)]'=[∫[0,x] sint/t dt ]'=sinx/x 一般形式的【变动上限积分求导法则】为:【∫[φ(x) ,ψ(x)] f(t)dt】' = f(φ(x))φ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x)

[∫[0,x] f(t)dt]'=f(x) 即:变动上限积分 对 变动上限 的导数,等于将变动上限带入被积函数.例:f(x)=∫[0,x] sint/t dt 尽管 sint/t 的原函数 f(x) 无法用初等函数表示,但f(x)的导数却可以根据【变动上限积分求导法则】算出:[f(x)]'=[∫[0,x] sint/t dt ]'=sinx/x 一般形式的【变动上限积分求导法则】为:【∫[φ(x) ,ψ(x)] f(t)dt】' = f(φ(x))φ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x)

这样求导:在换元2x-t=u中,t是原积分变量,u是换元后的新积分变量,u是t的函数,u不是x的函数.换元后的第一个积分相当于∫〔a到2a〕【2af(u)】du.先把f中左边的x.

积分上限函数又称变上限积分,例如∫f(t)dt,其中上限为某一变量x,下限为某一常量a,假定f(t)的原函数为F(t),则上述变上限积分就等于F(x)-F(a),该积分显然是x的函数,其中F(a)为常数.现在对变上限积分求导就是对F(x)-F(a)求导,很明显等于f(x).更一般的情形,如果积分上限为x的某一函数g(x),则变上限积分就等于F[g(x)]-F(a),对其求导就得到f[g(x)]g'(x).如有不明欢迎追问.

F(x)=∫(0,x)f(t)(x-t)dt=x∫(0,x)f(t)dt - ∫(0,x)f(t)tdt 故F'(x)=[x∫(0,x)f(t)dt - ∫(0,x)f(t)tdt]'=[x∫(0,x)f(t)dt]' - [∫(0,x)f(t)tdt]'=∫(0,x)f(t)dt+xf(x) - xf(x)=∫(0,x)f(t)dt

d[-∫(1,x^2)(sin√t)/t]/dx=d[∫(1,x^2)(-sin√t)/t]/dx=[-sin√(x^2)/x^2]*(x^2)'=-(2x)sinx/x^2=-2sinx/x 对变上限积分求导,只要将上限直接代入被积函数,再乘以上限表达式的导数即可 有不懂欢迎追问

有公式如下: 设下限为常数a,上限为函数g(x),积分函数为f(t),则导数公式为: I=∫(g(x),a)f(t)dx I'=f(g(x))*g'(x). 特别的,当g(x)=x的时候,有: I'=f(x).

最简单的理解,你要注意你是对一个积分求导.积分的上限虽然是X,但该积分同样是tf(t)的原函数,差异只在于常数的不同,书上有证明.所以直接去掉积分号即可.注:去掉积分号后还要对上限求导,本题上限导数为1

1)积分(1,x^2) (sint)^2dt 求导后答案为什么是2x*(sinx)^2,而不是2x*(sinx^2)^2 我用复合函数解出来的答案是后面的那个呀! 【积分(1,x^2) (sint)^2dt 】' =sin²(x²)*(x²)' =2xsin²(x²) 这个是标准答案,你的是对的. 2)积分(2x,0) e^-t^2 dt 求导后答案为什么是-2e^-x^2,而不是-2e^-(2x)^2 第2题与第1题相同原因,顺便一起帮忙看下吧! 积分(2x,0) e^-t^2 dt=-积分(0,2x) e^-t^2 dt 所以 它的导数=- e^(-4x²)*(2x)'=-2e^(-4x²)

换元,注意定积分是对t积分,因此x可以视为常数:(下面是用 ∫[a,b] f(x)dx 来表示在[a,b]上对f(x)做积分) g(x)=(1/x) ∫[0,1] x*f(xt) d(t) 令u=xt, 因此积分上下限从t在[0,1]变为u 在[0,x]上;g(x)= (1/x) ∫[0, x] f(u) du (可以看为1/x 与后面的变下限积分函数相乘) 由此g'(x) = (-1/x^2) ∫[0, x] f(u) du + (1/x) f(x) 再由极限式可知f(0)=0,因此g'(x)在x趋向于0的时候的极限就可以用洛必达法则求了.