极限定义证明例题 高数极限定义证明例题

(1)任意ε>0,要使|2^(1/x)-0|<ε,则2^(1/x)<ε1/x<log(2,ε)1/x-log(2,ε)<0 [log(2,ε)x-1]/x>0 x[log(2,ε)x-1]>0 当ε=1,则x<0 当ε>1,则x<0或x>log(ε,2) 当ε<1,则log(ε,2)<x<0 则令正数d=-min{log(ε,2),-1},当-d<x<0时,有|2^(1/x)-0|<ε 原题得证

对于任意的E,只要取N=[1/E],则n>N可推出n>1/E,也可推出1/n

1 证明:对于任意的ε在N(ε)=[π/2ε],使得当n>N(ε)时,|arctann/n-0|<=π/2n<π/2N(ε)<ε 所以原极限=02(a) √n[√(n+α)-√n]=√n[√(n+α)-√n][√(n+α)+√n] / [√(n+α)+√n]=α√n / [√(n+α)+√n] 所以,原极限=α/2(b) 设x=1/n 原极限=lim(n->∞) [α^(1/n)-1]/(1/n)=lim(x->0) [α^x-1] / x=lim(x->0) α^xlnα=lnα

1、这个问题就是根据极限的定义证明,而不是计算;2、证明的核心思想是epsilon-delta method,ε-δ method, 汉语的翻译比较夸张,称为ε-δ语言.3、这个方法是吵架的.

1证明:对于任意的ε>0.,存在N(ε)=[π/2ε],使得当n>N(ε)时,|arctann/n-0|<=π/2n<π/2N(ε)<ε所以原极限=02(a)√n[√(n+α)-√n]=√n[√(n+α)-√n][√(n+α)+√n] / [√(n+α)+√n]=α√n / [√(n+α)+√n]所以,原极限=α/2(b)设x=1/n原极限=lim(n->∞) [α^(1/n)-1]/(1/n)=lim(x->0) [α^x-1] / x=lim(x->0) α^xlnα=lnα

按照严格的极限定义证明如下 证明 x趋于x0时f(x)极限存在等价于,对于任意给出的一个正数ε,总存在一个正数δ,使得当x满足 |x-x0| 左极限存在即总存在一个正数δ,使得当x满足 |x-x0| 右极限存在即总存在一个正数δ,使得当x满足 |x-x0| 所以左右极限都存在时,总存在一个正数δ,使得当x满足 |x-x0|-ε 即|f(x)-a| 所以 函数f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

任取一个正数ε 令|(3n+1)/(2n+1)-3/2|=1/2(2n+1)<ε 又1/4(n+1)<1/2(2n+1)<ε 令n=[1/4ε-1]+1 则当n>n时必有1/2(2n+1)<ε 即|(3n+1)/(2n+1)-3/2|=1/2(2n+1)<ε 则对于任意给出的一个正数ε都存在一个正数δ,使得n>n时 |(3n+1)/(2n+1)-3/2|<ε 命题得证

给你思路自己完成证明吧,bn=|an|,在bn上考虑这个问题就清晰容易了.建议你作不出来再看后面提示.—————————————bn有下界且不等于0,m取下界的一半就好了.

用定义证明极限都是格式的写法,依样画葫芦就是: 任意给定ε>0,要使 |(1+x³)/(2x³)-(1/2)| = (1/2)|1/x³| 只须 |x| > 1/[³√(2ε)],取 X = 1/[³√(2ε)]> 0,则当 |x| > X 时,就有 |(1+x³)/(2x³)-(1/2)| = (1/2)|1/x³| 根据极限的定义,得证.

当n趋于正无穷时 lim(2n+1)/(3n-1)=lim(2+1/n)/(3-1/n)=lim(2+1/n)/lim(3-1/n)=2/3