积分上限函数求导法则 积分上限函数例题解析

[∫[0,x] f(t)dt]'=f(x) 即:变动上限积分 对 变动上限 的导数,等于将变动上限带入被积函数.例:F(x)=∫[0,x] sint/t dt 尽管 sint/t 的原函数 F(x) 无法用初等函数表示,但F(x)的导数却可以根据【变动上限积分求导法则】算出:[F(x)]'=[∫[0,x] sint/t dt ]'=sinx/x 一般形式的【变动上限积分求导法则】为:【∫[φ(x) ,ψ(x)] f(t)dt】' = f(φ(x))φ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x)

变上限积分求导,不是牛顿-莱布尼兹公式.首先你要知道求导公式:F(x)=∫(上限x,下限a)f(t)dt,则F'(x)=f(x),这个是基本公式 若F(x)=x∫(上限x,下限a)f(t)dt,则F(x)可以看作两个函数相乘,一个是x,另一个是∫(上限x,下限a)f(t)dt,因此F(x)求导的时候按照乘积求导的法则来求,记 ∫(上限x,下限a)f(t)dt=u(x) F'(x)=(xu(x))'=(x)'u(x)+xu'(x)=u(x)+xu'(x)=∫(上限x,下限a)f(t)dt+xf(x) 结果有两项:前一项是x求导,u(x)不变,后一项是x不变,u(x)求导.

积分上限函数又称变上限积分,例如∫f(t)dt,其中上限为某一变量x,下限为某一常量a,假定f(t)的原函数为F(t),则上述变上限积分就等于F(x)-F(a),该积分显然是x的函数,其中F(a)为常数.现在对变上限积分求导就是对F(x)-F(a)求导,很明显等于f(x).更一般的情形,如果积分上限为x的某一函数g(x),则变上限积分就等于F[g(x)]-F(a),对其求导就得到f[g(x)]g'(x).如有不明欢迎追问.

这样求导:在换元2x-t=u中,t是原积分变量,u是换元后的新积分变量,u是t的函数,u不是x的函数.换元后的第一个积分相当于∫〔a到2a〕【2af(u)】du.先把f中左边的x.

F(x)=∫(0,x)f(t)(x-t)dt=x∫(0,x)f(t)dt - ∫(0,x)f(t)tdt 故F'(x)=[x∫(0,x)f(t)dt - ∫(0,x)f(t)tdt]'=[x∫(0,x)f(t)dt]' - [∫(0,x)f(t)tdt]'=∫(0,x)f(t)dt+xf(x) - xf(x)=∫(0,x)f(t)dt

分变上限求导公式是1 积分(下限0上限x) (积分f(x)dx,0,x)'=f(x) 就是f(x); 2 积分(下限0上限g(x)) (积分f(x)dx,0,g(x))'=f(g(x)).g'(x) 就是ff(g(x)).g'(x) .

就是把第二个积分中的t换为x,直接写下来,然后乘以x的导数(这儿就是乘以1)

∫(上限x下限0)x dt =x∫上限x下限0 dt 求导=∫上限x下限0 dt+x(∫上限x下限0 dt)'=x+x=2x

最简单的理解,你要注意你是对一个积分求导.积分的上限虽然是X,但该积分同样是tf(t)的原函数,差异只在于常数的不同,书上有证明.所以直接去掉积分号即可.注:去掉积分号后还要对上限求导,本题上限导数为1

上限是复合函数的变上限积分的求导法则,其证明见上图.你的图片中的公式2是一般的变限函数求导公式,你的图片中的1式,是2的特殊情况.用到原函数,复合函数求导等.