如何用高中不等式知识证明e的X次方大于1+ x？ 证明e的x次方大于x加1
如何用拉格朗日定理证不等式:e的x次方大于ex, x大于1？
拉格朗日定理证不等式如下：
1. 设函数f(x)=e^x-ex, x∈（1,+∞）
2. 在区间（1,x0）可导在区间[1,x0]
3. 根据拉格朗日中值定理,在区间（1,x0)内可找到一点ξ,使得f(x0)=f(1)+f'(ξ)*(x0-1)
4. f'(x)=e^x-e
5. 在ξ点的导数为e^ξ-e
6. f(1)=e-e=0
7. f(x0)=0+(e^ξ-e)(x0-1)
8. ∵ξ>1
9. ∴e^ξ-e>0
10. ∵x0>1
11. ∴x0-1>0
12. ∴(e^ξ-e)(x0-1)>0
13. ∴f(x0)>0
14. ∴e^x0-ex0>0
15. ∴e^x0>ex0
16. x0∈（1,+∞）
17. ∴e^x>ex
证明下列不等式e的x方大于一加x
应该加个条件：x≠0 。事实上，当x=0时，e^x=1+x=1。
证明：令 f(x)=e^x-(1+x)，
则 f '(x)=e^x-1，令 f '(x)=0，则 x=0 ，
当x<0时，f '(x)<0，当x>0时，f '(x)>0，
因此，f(x)在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
所以 对任意x≠0，有 f(x)>f(0)，
即 e^x-(1+x)>0，
因此，e^x>1+x。
怎么证明当x大于1时,e的x次方大于ex
方法一：x＞1时，设f(t)＝e^t，t∈[1,x]f(t)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(1,x)，使得f'(ξ)＝(e^x-e)/(x-1)f'(t)＝e^t，所以(e^x-e)/(x-1)＝e^ξξ＞1，所以(e^x-e)/(x-1)＞e，此即e^x＞ex 方法二：设f(x)＝e^x-ex，x∈[1,+∞)f(x)在[1,+∞)上连续，在(1,+∞)内可导，且f'(x)＝e^x－e＞0，所以f(x)在[1,+∞)上单调增加，所以x＞1时，f(x)＞f(1)＝0，所以e^x＞ex
证明：当x＞0时，e的x次方大于1+x
方法一（求导法）
令f(x)=e^x-x-1
f'(x)=e^x-1
∵x>0,∴e^x>e^0=1,∴f'(x)>0
∴函数f(x)为增函数
又lim(x→0)f(x)=0
∴f(x)>0
方法二（利用拉格朗日中值定理）
令f(t)=e^t,f'(t)=e^t
f(x)-f(0)=e^x-1=f'(θx)x(0<θ<1)
即e^x-1=e^(θx)x
∵x>0,0<θ<1
∴θx>0
∴e^(θx)>e^0=1
∴e^x-1=e^(θx)x>x