数列n的平方的和 n的平方的前n项和

1^2+2^2+3^2+---+n^2 =n(n+1)(2n+1)/6

由(n+1)^3 - n^3 =3n^2 + 3n +1,可得n^2=1/3 * ((n+1)^3-n^3) - n -1/3,叠加即可,n^3是可以抵消的,更高次幂,如n的三次方也是类似算法

1²+2²+3²+……+n²=n*(n+1)*(n+2)/6 另外,1到n的立方和数列求和为=n*n*(n+1)*(n+1)/4

^1^n+2^n+3^n+4^n+…+n^n=1/6*n(n+1)(2n+1) 方法:利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 ……3^3-2^3=3*2^2+3*2+12^3-1^3=3*1^2+3*1+1 相加得:(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+…+n^2)+3(1+2+…+n)+n 整理得:1^n+2^n+…+n^n=1/6*n(n+1)(2n+1)

解 Sn=1^2+2^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即:1/1+1/2+1/3+.+1/n 这个数组是发散的,所以没有求和公式,只有一个近似的求解方法:1+1/2+1/3+.+1/n ≈ lnn+c(c=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用.) 当n很大时,有:1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n) (其中,0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数.)

如果使用算术方法可以推导出来: 我们知道 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 (1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1 (2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 (3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 .

数列An=(n的平方)的前n项和为多少?an=n²,Sn=1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6.

降次求和法: 把(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1中的k分别用1,2,…,n代入,得 2^3-1^3=3*1^2+3*1+1 3^3-2^3=3*2^2+3*2+1 ………… n^3-(n-1)^3=3*(n-1)^2+3*(n-1)+1 (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1 把上述n个等式相加,得(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3*(1+2+3+……+n)+n 所以an=n^2的前n项和 Sn=[(n+1)^3-1-3*(n+1)*n/2-n]/3 =[n(n+1)(2n+1)]/6

n(n+1)(2n+1)/6 有什么问题可以留言~~~