二阶微分方程求解公式 二次方程的求根公式

所谓的线性微分方程,指的是对函数y而言是线性的,也就是若y1,y2是两个解,则y1+y2也是解,ay1(其中a是任意实数)也是解,因此按照这个定义代入微分方程就会知.

求下列微分方程的通解 1.,特征方程:r²+4r+1=0,特征根:r1=-2-√3,r2=-2+√3, y''+4y'+y=0的通解为y=C1e^(-2-√3)x+C2e^[(-2+√3)x] 2.特征方程:2r²-2r+5=0,特征根:r1=(1-3i)/2],r2=(1+3i)/2, 2y''-2y'+5y=0的通解为y=e^(x/2*{C1cos(3x/2)+C2sin(3x/2)} 3.特征方程:r+25=0,特征根:r1=-25 y'+25y=0的通解为y=Ce^(-25x)

微分算方法应用于寻求非齐次微分方程特解,相应的齐次微分方程的由特征方程的一般解(第二阶或二阶可转化成)和变量(第一级分离,那么常数的方法来解决比较简单的)求解非齐次方程的常见变异. 2,公式变换:使..将改写微分方程形式,即特定的解决方案. 这样的结果:常系数 微分方程,直接以重写指数D的推导中,常系数不变,就可以了.

举一个2113简单的例子: y''+3y'+2y = 1 (1) 其对应的齐次方程的5261特4102征方程为:1653 s^2+3s+2=0 (2) 因式内分解: (s+1)(s+2)=0 (3) 两个根为: s1=-1 s2=-2 (4) 齐次方程的通解: y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5) 非奇方程(1)的特解: y* = 1/2 (6) 于是(1)的通解为: y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x) (7) 其中:容a、b由初始条件确定.

这类微分方程有固定解法 ay''+by'+cy=f(x)1、先解对应的齐次方程ay''+by'+cy=0的通解y1 解法:根据特征方程at^2+bt+c=0的解t1,t2的是单根重根和虚根来组解,具体的你查书吧,我手头没书,得到y1=y1(t1,t2)2、求得一组特解y* 根据f(x)的形式设计试探特解,求出试探特解的系数,得到y*3、ay''+by'+cy=f(x)的通解:y=y1+y*

这是二阶常系数微分方程,很容易求的,高数书上有设 y=f'(x). 由f'(x)=f＂(x), 有 y=dy/dx 移项 dx=dy/y两边积分有 x+d=ln y (d为常数)所以 y=e^(x+d) 即y=f'(x)=ce^x (c为常数)积分f(x)=ce^x+k 再由.f(0)=1,f'(0)=2 解除c=2 k=-1 所以f(x)=2e^x-1

把y2(x),y2'(x),y2''(x)代入方程,得y1(x)C'(x)+(2y1'(x)+p(x)y1(x))C'(x)=0.这是个可降阶的二阶微分方程,不显含y.令u=c'(x),则有du/u=-(2y1'+p(x)y1)/y1dx,积分lnu=-2lny1-∫p(x)dx,所以c'(x)=u=1/y1^2*e^(-∫p(x)dx),所以c(x)=∫1/y1^2*e^(-∫p(x)dx) dx.

这种缺少x的方程解法是化为y的微分方程:p=y' y＂=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy 方程化为:y pdp/dy-2yplny-p^2=0 即ydp/dy-2ylny-p=0 dp/dy-p/y=2lny 这就化成了一阶微分方.

解:∵y''*e^y'=1 ==>e^y'd(y')=dx ==>e^y'=x+c1 (c1是积分常数) ==>y'=ln│x+c1│ ==>y=∫ln│x+c1│dx ==>y=xln│x+c1│-∫[x/(x+c1)]dx ==>y=xln│x+c1│-∫[1-c1/(x+c1)]dx ==>y=xln│x+c1│-x+c1ln│x+c1│+c2 (c2是积分常数) ==>y=(x+c1)ln│x+c1│-x+c2 ∴原方程的通解是y=(x+c1)ln│x+c1│-x+c2 (c1,c2是积分常数)

解 求特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0 解出两个特征根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数,则y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2为实数,则y=(c1+xc2)*e^(r1*x) 若r1,r2即a±bi为复数, 则y=e^(ax)*(c1*cosbx+c2*sinbx)