齐次线性方程组的通解 基础解系

该齐次方程组的系数矩阵初等行变换为 A → [1 3 1] [4 -2 3] [0 0 0] A → [1 3 1] [0 -14 -1] [0 0 0] 即方程组同解变形为 x1 + 3x2 = -x3 14x2 = -x3 取自由未知量 x3 = 14, 得基础解系 (11, 1, -14)^T

系数矩阵:1 1 -1 -12 -5 3 -27 -7 3 2 r2-2r1, r3-7r1 得:1 1 -1 -10 -7 5 00 -14 10 9 r3-2. 取x3=7,得解向量:z=( 2, 5, 7, 0) 而通解为:X=kz.扩展资料 齐次线性方程组的性质1.

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组.求向量组的极大无关组的一般步骤:1. 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵;2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵;3.主元所在列对应的原向量组即为极大无关组.求齐次线性方程组通解要先求基础解系,步骤:a. 写出齐次方程组的系数矩阵A;b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵;c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元(n – r 个);d.令自由元中一个为 1 ,其余为 0 ,求得 n – r 个解向量,即为一个基础解系.齐次线性方程组AX= 0:若X1,X2… ,Xn-r为基础解系,则X=k1 X1+ k2 X2 +…+kn-rXn-r,即为AX= 0的全部解(或称方程组的通解).

因为 非齐次线性方程组ax=b 有3个线性无关的解向量 所以 ax=0 的基础解系含 3-1 = 2 个向量(1/2)(b+c) 是非齐次线性方程组的解 b-a,c-a 是 ax=0 的解-- 这是解的性质, 直接代入方程验证即可 又由 a,b,c 线性无关得 b-a, c-a 线性无关 所以 b-a,c-a 是 ax=0 的基础解系.故通解为 (1/2)(b+c) k1(b-a)+k2(c-a).

系数矩阵 A = [1 2 1 -1] [3 6 -1 -3] [5 10 1 -5] 行初等变换为 [1 2 1 -1] [0 0 -4 0] [0 0 -4 0] 行初等变换为 [1 2 0 -1] [0 0 1 0] [0 0 0 0] 方程组同解变形为 x1+2x2-x4=0 x3=0 即 x1=-2x2+x4 x3=0 取 x2=-1,x4=0,得基础解系 (2,-1,0,0)^T; 取 x2=0,x4=1,得基础解系 (1,0,0,1)^T. 则方程组通解为 x=k(2,-1,0,0)^T+c(1,0,0,1)^T, 其中 k,c 为任意常数

(1)*2+(3)得 x+2y+2w=0 ,减(2)得 w=0 .取 y=k (k 为任意实数),则 x= -2k ,代入(1)得 z=0 ,由此得方程组的通解为 (x,y,z,w)=(-2k,k,0,0).(k 为任意实数)

X1 +X3-5X4=0,①2X1+X2 -3X4=0,② X1+X2-X3+2X4=0.③ ②-③,x1 +x3-5x4=0.∴只有两个方程是独立的,取①,②.x1-5x4=-x3,2x1-3x4=-x2,解得x1=(-5x2+3x3)/7,x4=(-x2+2x3)/7,∴(x1,x2,x3,x4)=((-5x2+3x3)/7,x2,x3,(-x2+2x3)/7),其中x2,x3可以是任意数,为所求.

非齐次线性方程组的通解=对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解.你这个特解是已知的了,那主要就是求对应那个齐次方程的通解了.利用秩判断一下.再不会就把方程发上来.

说实在的,这种题初中生都该会了.只不过大学用矩阵的形式表示罢了.

X1+X2+X3+X4=0,2X1+3X2+X3+X4=0,4X1+5X2+3X2+3X4=0 x2=x3+x4 x1=-2x3-2x4 x3,x4,任意取值