线性齐次方程的通解 齐次微分方程的通解公式

该齐次方程组的系数矩阵初等行变换为 A → [1 3 1] [4 -2 3] [0 0 0] A → [1 3 1] [0 -14 -1] [0 0 0] 即方程组同解变形为 x1 + 3x2 = -x3 14x2 = -x3 取自由未知量 x3 = 14, 得基础解系 (11, 1, -14)^T

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组.求向量组的极大无关组的一般步骤:1. 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵;2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵;3.主元所在列对应的原向量组即为极大无关组.求齐次线性方程组通解要先求基础解系,步骤:a. 写出齐次方程组的系数矩阵A;b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵;c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元(n – r 个);d.令自由元中一个为 1 ,其余为 0 ,求得 n – r 个解向量,即为一个基础解系.齐次线性方程组AX= 0:若X1,X2… ,Xn-r为基础解系,则X=k1 X1+ k2 X2 +…+kn-rXn-r,即为AX= 0的全部解(或称方程组的通解).

解 求特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0 解出两个特征根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数,则y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2为实数,则y=(c1+xc2)*e^(r1*x) 若r1,r2即a±bi为复数, 则y=e^(ax)*(c1*cosbx+c2*sinbx)

解:∵齐次方程y＂-6y'+9y=0的特征方程是r^2-6r+9=0,则r=3(二重实根) ∴此齐次方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x) (c1,c2是常数) ∵设原方程的解为y=(ax^3+bx^2)e^(3x) 代入原方程,得(6ax+2b)e^(3x)=(x+1)e^(3x) ==>6a=1,2b=1 ==>a=1/6,b=1/2 ∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一个解 故原方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x),即y=(x^3/6+x^2/2+c1x+c2)e^(3x).

系数矩阵:1 1 -1 -12 -5 3 -27 -7 3 2 r2-2r1, r3-7r1 得:1 1 -1 -10 -7 5 00 -14 10 9 r3-2. 取x3=7,得解向量:z=( 2, 5, 7, 0) 而通解为:X=kz.扩展资料 齐次线性方程组的性质1.

因为 非齐次线性方程组ax=b 有3个线性无关的解向量 所以 ax=0 的基础解系含 3-1 = 2 个向量(1/2)(b+c) 是非齐次线性方程组的解 b-a,c-a 是 ax=0 的解-- 这是解的性质, 直接代入方程验证即可 又由 a,b,c 线性无关得 b-a, c-a 线性无关 所以 b-a,c-a 是 ax=0 的基础解系.故通解为 (1/2)(b+c) k1(b-a)+k2(c-a).

系数矩阵 A = [1 2 1 -1] [3 6 -1 -3] [5 10 1 -5] 行初等变换为 [1 2 1 -1] [0 0 -4 0] [0 0 -4 0] 行初等变换为 [1 2 0 -1] [0 0 1 0] [0 0 0 0] 方程组同解变形为 x1+2x2-x4=0 x3=0 即 x1=-2x2+x4 x3=0 取 x2=-1,x4=0,得基础解系 (2,-1,0,0)^T; 取 x2=0,x4=1,得基础解系 (1,0,0,1)^T. 则方程组通解为 x=k(2,-1,0,0)^T+c(1,0,0,1)^T, 其中 k,c 为任意常数

求通解是对齐次的说的,若有两个自由变量,四维的方程组,就依次取c1=(0 0 1 0)c2=(0 0 0 1)然后算方程组的解.若有三个自由变量,就依次取为c1=(0 1 0 0)c2=(0 0 1 0)c3=(0 0 0 1)然后求出方程组的通解.而对于特解自由变量都取0就好了只要满足方程就好,所以自由变量可以随便取.求通解时,因为他是基础解系,别的解要由他能够表示,所以不能同时为零,必须有不为零的数,所以取1最简单

先写成行列式的形式1 -3 1 -2-5 1 -2 3-1 -11 2 -53 5 0 1 然后进行行变换变成行阶梯型矩阵,就是对角线下面的全是0的那种1 -3 1 -20 -14 3 -70 0 0 00 0 0 0 也就是 x1-3x2+x3-2x4=0 -14x2+3x3-7x4=0 由此得 x1=(-27/14)x3+(7/2)x4 x2=(-3/14)x3+(1/2)x4 所以通解是 c1(-23/14 -3/14 1 0)+c2(7/2 1/2 0 1) 不好意思,应该写成竖着的形式,但是本人不会,所以,将就一下吧.基础解系就是最大无关向量组,多了去了,随便找一个吧1 -3-5 1 你这数还真不好算塞·~~

dy/dx=e^(y/x)+y/x+1 令y/x=u,y=xu dy/dx=u=xdu/dx 带入原方程得 u+xdu/dx=e^u+u+1 du/(e^u+1)=dx/x e^u du/e^u (e^u+1)=dx/x [1/e^u -1/(e^u+1)] d(e^u)=dx/x lne^u - ln(e^u+1)=ln|x|+ln|C| e^u/(e^u+1)=Cx1/[1+e^(-u)]=Cx e^(-u)=1/Cx -1-u=ln(1/Cx - 1) u=-ln(1/Cx - 1) 即y=-x ln(1/Cx - 1)