三角函数的极限问题 三角函数的极限公式

极限首先应该考虑的是自变量的变化过程,第二,要理解极限时一个确定的常数,是一个数.然后考虑你说的三角函数,先看sin(x) 和cos(x),当自变量x趋于无穷大时,极限不存在.sin(x)当自变量x趋于0时,极限为0;cos(x)当自变量x趋于0时,极限为1.tan(x)当自变量x趋于0时,极限为0;tan(x)当自变量x趋于pi/2时,极限为正无穷(也称极限不存在);tan(x)当自变量x趋于-pi/2时,极限为负无穷(也称极限不存在).

两种解法:1.利用无穷小量等价代换x~tan x:lim(x→0)(x/tan 3x)=1/3*lim(3x→0)(3x/tan 3x)=1/3*lim(3x→0)(3x/3x)=1/3*lim(3x→0)1=1/3*1=1/3;2.利用L'Hospital法则对被除式和除式分别求导:lim(x→0)(x/tan 3x)=lim(x→0)(x'/(tan 3x)')=lim(x→0)(1/3sec² 3x)=lim(x→0)(cos²3x/3)=1/3*lim(x→0)(cos²3x)=1/3*1=1/3.

洛必达法则1.分子分母同趋于0=lim(x->0) 6/((1-6x)^1/2*3cos3x)=22.分子分母同趋于0=lim(x->0) cosx/-1=1

求极限x→0lim[(x-arctanx)/sin³x] 解:原式=x→0lim[1-1/(1+x²)]/(3sin²xcosx)=x→0lim{x²/[3(1+x²)x²cosx]【此处用了替换sin²x∾x²,以简化运算】=x→0lim{1/[3(1+x²)cosx]=1/6

运用洛必达法则,上下求导就可以了啊lim(x→π/4)(sin x - cos x) / (tan x - 1) =lim(x→π/4)(sin x +cos x) / sec ^2x =lim(x→π/4)(sin x +cos x)*cos ^2x =√2*(√2/2)^2=√2/2

解: 8cos(2x+y) +5cosy =0原式=8cos(x+y+x) +5cos(x+y-x) =0 8cos(x+y)cosx -8sin(x+y)sinx + 5cos(x+y)cosx + 5sin(x+y)*sinx =0 整理得:13cos(x+y)cosx = 3sin(x+y)sinxsin(x+y)sinx/cos(x+y)cosx = 13/3tan(x+y)tanx = sin(x+y)sinx/cos(x+y)cosxtan(x+y)tanx = 13/3

利用导数的定义 lim(x->a)(sinx-sina)/(x-a)=(sinx)'|(x=a) =cosa或者利用三角公式:sinx-sina=2sin((x-a)/2)*cos((x+a)/2)原式=lim(x->a)(2sin((x-a)/2)*cos((x+a)/2))/(x-a)=lim(x->a)(2sin((x-a)/2)/(x-a)*cos((x+a)/2))=lim(x->a)((x-a)/(x-a)*lim(x->0)cos((x+a)/2))=1*cosa=cosa

总的来说,要搞清楚,大数与有限数,有需要可以使用夹逼定理、罗必塔法则等.如求解例如lim x趋向于0情况下(sin 1/x)/(1/x),1/x趋向于∞,sin 1/x∈[1,1],所以lim x趋向于0,(sin 1/x)/(1/x)=0;如求解例如lim x趋向于∞情况下(sin 1/x)/(1/x),1/x趋向于0,sin 1/x趋向于0,此时由于lim x趋向于0,(sin x)/x=1,所以lim x趋向于∞,(sin 1/x)/(1/x)=1;对于0/0,∞/∞,∞±∞等等情况往往需要可以使用夹逼定理、罗必塔法则等.

1. x→0,sinx=0 cosx=1 tanx=0 cotx极限不存在,2. x→∞,sinx cosx tanx 不存在 cotx 正无穷的时候是pi/2,负无穷的时候是-pi/2,3. x→0,arcsinx=0 arccosx= pi/2 arctanx=0 arccotx=0,4. x→∞,arcsinx arccosx arctanx arccotx 均不存在.

lim(x趋向六分之pai)(sinx + 1)/(sinx-1)=(1/2+1)/(1/2-1)=3