二阶微分方程的3种通解 二阶微分方程求解

你给的例子实际上是一种特殊情形,不具有一般性. 对于你给的这个例子,由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解,故可得方程的通解是:y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x

解:∵y''*e^y'=1 ==>e^y'd(y')=dx ==>e^y'=x+c1 (c1是积分常数) ==>y'=ln│x+c1│ ==>y=∫ln│x+c1│dx ==>y=xln│x+c1│-∫[x/(x+c1)]dx ==>y=xln│x+c1│-∫[1-c1/(x+c1)]dx ==>y=xln│x+c1│-x+c1ln│x+c1│+c2 (c2是积分常数) ==>y=(x+c1)ln│x+c1│-x+c2 ∴原方程的通解是y=(x+c1)ln│x+c1│-x+c2 (c1,c2是积分常数)

特征方程2r^2+5r=0 r=0,r=-5/2 所以齐次通解为y=C1+C2e^(-5/2) 设特解是y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d y''=12ax^2+6bx+2c 代入原方程得2(12ax^2+6bx+2.

解 求特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0 解出两个特征根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数,则y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2为实数,则y=(c1+xc2)*e^(r1*x) 若r1,r2即a±bi为复数, 则y=e^(ax)*(c1*cosbx+c2*sinbx)

解:齐次方程y''-2y'-3y=0的特征方程是λ²-2λ-3=0,解得 λ1=3,λ2=-1 所以齐次方程得通解是 y=ae^(3x)+be^(-x) 只需求其特解y*.根据右边4e^x,可设y*=ke^x,代入左边得 ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x 解得k=-1 所以特解y*=-e^x 原方程通解为 y=ae^(3x)+be^(-x)-e^x

这类微分方程有固定解法 ay''+by'+cy=f(x)1、先解对应的齐次方程ay''+by'+cy=0的通解y1 解法:根据特征方程at^2+bt+c=0的解t1,t2的是单根重根和虚根来组解,具体的你查书吧,我手头没书,得到y1=y1(t1,t2)2、求得一组特解y* 根据f(x)的形式设计试探特解,求出试探特解的系数,得到y*3、ay''+by'+cy=f(x)的通解:y=y1+y*

微分算方法应用于寻求非齐次微分方程特解,相应的齐次微分方程的由特征方程的一般解(第二阶或二阶可转化成)和变量(第一级分离,那么常数的方法来解决比较简单的)求解非齐次方程的常见变异. 2,公式变换:使..将改写微分方程形式,即特定的解决方案. 这样的结果:常系数 微分方程,直接以重写指数D的推导中,常系数不变,就可以了.

楼主分析的非常精辟,不知道有什么疑问呢,通解嘛自然表示方式不一定非得一样,但是能包括所有的解,这就是通解了 只不过是答案形式不同 正如楼主所说,这类题目只需要先求的齐次线性微分方程的通解然后加上非齐次方程的的特解即可 这即可构成通解 书本原话

求下列微分方程的通解 1.,特征方程:r²+4r+1=0,特征根:r1=-2-√3,r2=-2+√3, y''+4y'+y=0的通解为y=C1e^(-2-√3)x+C2e^[(-2+√3)x] 2.特征方程:2r²-2r+5=0,特征根:r1=(1-3i)/2],r2=(1+3i)/2, 2y''-2y'+5y=0的通解为y=e^(x/2*{C1cos(3x/2)+C2sin(3x/2)} 3.特征方程:r+25=0,特征根:r1=-25 y'+25y=0的通解为y=Ce^(-25x)

若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解,则y1-y2是方程的p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=0的特解 利用上面的结论,可知y=x-1与y=x²-1都是这个二阶非齐次微分方程所对应的齐次方程的特解 因为这两个特解非线性相关,所以这个齐次方程的通解可表示为 y=c1(x-1)+c2(x²-1) 所以原微分方程的通解可表示为它的齐次方程的通解再加上它的一个特解 y=c1(x-1)+c2(x²-1)+1,c1,c2是任意常数