伯努利方程的通解 伯努利方程通解公式什么样

伯努利方程 y' + P(x)y = Q(x)y^a (a ≠ 1) 令 y^(1-a) = z, 则 y = z^[1/(1-a)], y' = [1/(1-a)]z^[a/(1-a)]z' 可将伯努利方程化为一阶线性微分方程,求其通解后, 将 z = y^(1-a) 回代即.

解:∵y'=(y^2+x^3)/(2xy) ==>2xydy-y^2dx=x^3dx ==>2ydy/x-y^2dx/x^2=xdx (等式两端同除x^2) ==>d(y^2/x)=d(x^2/2) ==>∫d(y^2/x)=∫d(x^2/2) ==>y^2/x=x^2/2+C (C是常数) ==>y^2=x^3/2+Cx ∴此方程的通解是y^2=x^3/2+Cx.

此题属于伯努利方程求通解,求的过程见图.伯努利方程求通解方法,是先换元,z=1/y,则 伯努利方程化为z的一阶线性微分方程.代一阶线性微分方程的通解公式,可得到通解.伯努利方程求通解,步骤见上.

1.两边同除以y^2,y'/y^2+1/y=(cosx-sinx)设u=1/y,代入得:-u'+u=(cosx-sinx),或:u'-u=-cosx+sinx通解为:u=e^x(c+∫(sinx-cosx)e^(-x)dx=e^x(c-sinxe^(-x))=ce^x-sinx 即:1/y=.

∫(1/y^2-2/y)dy=-1/y-2lny,代入就得到x啦

解:∵令z=1/y^2,则y'=-z'/(2yz^2) ∴代入原方程,化简得 z'-4xz=-4x^3....(1) ∵方程(1)是一阶线性微分方程 ∴由一阶线性微分方程通解公式知,方程(1)的通解是 z=Ce^(2x^2)+x^2+1/2 (C是常数) ==>1/y^2=Ce^(2x^2)+x^2+1/2 ==>(Ce^(2x^2)+x^2+1/2)y^2=1 故原方程的通解是(Ce^(2x^2)+x^2+1/2)y^2=1.

是f(x)=sin(x²)还是f(x)=sin²x ?两者是不同的.如果是f(x)=sin²x,那么:dy/dx=2sinxcosx=sin(2x)d²y/dx²=cos(2x)·(2x)'=2cos(2x)d³y/dx³=-2sin(2x)·(2x)'=-4sin(2x).

直接分离变量:dy/dx=xy(3+y) dy/[y(y+3)]=xdx dy[1/y-1/(y+3)]=3xdx 积分:ln|y|-ln|y+3|=3x^2/2+C1 得y/(y+3)=Ce^(3x^2/2)

设u=y²u'-2u=-4xu=y²=C e^(2x)+2x+1

令u=y/x,则y=ux,y'=u+u'x 原方程同除以x^2,将上述变换带入得: u'x=3(1+u^2)arctanu 即: darctanu/arctanu=3dx/x 积分得:arctanu=a*x^3 即:u=y/x=tan(a*x^3) y=x*tan(a*x^3) 这是通解,将初值条件带入,可得: 1=tana,可得a=π/4,从而特解为: y=x*tan[(π/4)*x^3]