高数级数问题？高数级数知识点

高数级数问题？高数级数知识点

高数级数问题。幂级数

你的方法不对，首先，

展开为x的幂级数，默认意思是展开为(x - 0)^n形式，即关于x^n的级数

例如1/(1-x) = Σ x^n，只含有x^n，(x/a)^n等等也可以，只有自变量一定是x^n

若是变成(x+1)^n，(x-6)^n，(x+1/x)^n，(x+x^2)^n等等形式就不对了，因为这些都不符合"在x=0处展开为幂级数"的要求

记住这两个公式

1/(1-x)=∑<n=0,∞> x^n (-1<x<1)

1/(1+x)=∑<n=0,∞> (-1)^n*x^n (-1<x<1)

例如本例：展开幂级数：f(x)=xarctanx-ln√(1+x^2)

1/(1+x^2)=∑<n=0,∞> (-1)^n*x^(2n)

arctanx = ∫<0,x>dt/(1+t^2)=∑<n=0,∞> (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1);

2x/(1+x^2)=2∑<n=0,∞> (-1)^n*x^(2n+1)

ln√(1+x^2)=(1/2)ln(1+x^2)=(1/2)∫<0,x>2tdt/(1+t^2)

=∑<n=0,∞> (-1)^n*x^(2n+2)/(2n+2).

得 f(x) = x∑<n=0,∞> (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1) -∑<n=0,∞> (-1)^n*x^(2n+2)/(2n+2).

= ∑<n=0,∞> (-1)^n[1/(2n+1)-1/(2n+2)]x^(2n+2).

收敛域 -1<x<1

Sn=a^0+a^1+a^2+……+a^n=（1-a^n)/(1-a)

a < 1/2

当n趋于无穷大 a^n趋于0

limSn=1/1-a

关于无穷乘积有一个重要的判别法：

已知sum(a_n)收敛，那么prod(1+a_n)收敛的充要条件是sum(a_n^2)收敛。

p>1/2就是这里来的。