为什么矩阵正负惯性指数相同就等秩？
特征值相同，正负惯性指数为什么相同？
正负惯性指数就是标准型的系数，而系数就是特征值。
你把线性代数二次型那一章好好看看
为什么合同的充要条件是正负惯性指数相等
正负惯性指数相等，所以规范型就相等，所以存在可逆Q矩阵，使QTAQ＝规范型对角矩阵，存在可逆P矩阵，使PTBP＝规范型对角矩阵，所以QTAQ＝PTBP，再把可逆P移过去，就有RTAR＝B，R可逆，所以AB合同
怎么判断矩阵具有相同的正负惯性指数
两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.首先合同是等价关系.可以传递.每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵,因为正交矩阵的特点,那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵.下证,对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.先证明,对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵.设对角矩阵对角线A上第i个元素为a（不为零）,那么设P为用（a的绝对值）^0.5乘E的第i行得到的初等矩阵,那么P^TAP也是个对角矩阵,对角线上除了第i个元素其他和A相同,且第i个元素为正负一,且与a同号.依次这么做,A对角线上所有元素可化为正负一以及0.再证明,对角线上只有正负一以及0的对角矩阵,只要正负一的个数相同就合同.设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为A,那么用对调ij行的初等矩阵左右乘A,恰使得A的对角线上第i和j个元素对调,其他不变,故命题成立.结合这两点,易得对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.那么现在,两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.这个结论也是显然的了.
正负惯性指数和二次型矩阵行列式的值的正负有什么关系，如图
这里面有隐含条件，所有特征值相加等于0，三个特征值不全为零，所以至少有一个为正，一个为负。有条件得出另一个肯定也是正的，所以可以直接用行列式小于等于0来求。
用矩阵的语言来表述即：与一个给定的实对称矩阵A合同的对角矩阵的对角线元素中，正的个数和负的个数是由A确定的，把这两个数分别称为A的正惯性指数和负惯性指数。合同于A的规范对角矩阵是唯一的，其中的自然数p，q就是A的正，负惯性指数。
扩展资料：
设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。
由惯性定理可知，二次型的正、负惯性指数是由二次型本身唯一确定的。事实上，正(负)惯性指数即为二次型矩阵A的正(负)特征值的个数。
从化标准形为规范形的过程看到，标准形中正(或负)平方项的个数就是正(或负)惯性指数。因此，虽然一个二次型有不同形式的标准形，但每个标准形中所含正(或负)平方项的个数是一样的。
参考资料来源：百度百科——矩阵行列式
参考资料来源：百度百科——正惯性指数