如图微分方程可分离变量的题右边可以凑微分的时候两边必须同时一起进行凑微分吗？(可分离变量的微分方程两边怎么能对不同变量进行积分呢)

可分离变量的微分方程两边怎么能对不同变量进行积分呢

微分方程当中x,y都可以认为是函数，例如x(t)，y(t)，dx就是x对t求导，dy就是y对t求导，当然可以乘过去。

3xx'=y'/y两边同时对t积分，∫3xx'dt=∫3xdx。∫y'/ydt=∫1/ydy。所以两边可以同时取积分，也自然可以移项或者通分。

因为非数学或者微分相关的工科专业不涉及柯西问题，所以并不写明x,y都是t的函数，但实际上x,y本身就都是t的函数，所有的运算都是满足的，例如dy/dx=y'(t)/x'(t)=y'(x)。这一点在高数学到高阶微分方程或者微分方程组的时候有少量体现。

可以这样认为，可分离变量的方程其实就是全微分方程。

比如f(x)dx=g(y)dy，那么

d(F(x)-G(y))=0，

其中F和G分别是f和g的原函数，

从而F(x)-G(y)=C。

这里并不需要考虑哪个变量是自变量，哪个变量是中间变量，利用的就是一阶微分形式的不变性。事实上这里的F(x)-G(y)显然是一个中间变量。

因为y是关于x的函数

g(y)直接对x积分是不能出结果的，∫ g(y) dx

因为g(y)对于x来说是符合函数，g(y)的自变量是y，不是x

所以一定要两边各自对自变量积分后才会出结果

即∫ g(y) dy = ∫ h(x) dx

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两边同时积分时，需要两边各放一个c1和c2，因为一次积分可能不能去掉所有的积分号，可能需要再次积分，常数c1、c2可能会变成系数，到最后把所有的系数和“任意常数”分别合并，设新的常数c作为系数或常数。