（数学存在性问题）取正方形的一条对角线的中点，要证明该点在另一条对角线上且也是其中点是很难的？(正方形对角线证明题)

正方形对角线证明题

∵矩形ABCD的对角线交点为O

∴OA=OB=OC=OD

∵AB‖ab

∴△AOB∽△aOb

∴OA:Oa=OB:Ob

∵OA=OB

∴Oa=Ob

同理可证:Oa=Od=Oc

∴Oa=Ob=Od=Oc

∴点O是矩形abcd的中点。

等熟练的直接用完全没有问题，但是如果是刚刚学而且书本上没有，还是建议推导，还有就是如果是要证明该性质则不可以直接用

证明：

可用解析几何方法；设正方体ABCD-A'B'C'D' 边长为a；以A为原点，AB为X轴正向；AD为Y轴正向，AA'为Z轴正向建立空间坐标系；则各点坐标为：

A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0)；

A'(0,0,a), B'(a,0,a), C'(a,a,a), D'(0,a,a)；

各对角线中点x,y,z 坐标为端点x，y，z坐标的平均值：

AC‘ 中点为M1(a/2, a/2, a/2)；BD'中点M2(a/2, a/2, a/2)

CA‘ 中点为M3(a/2, a/2, a/2)；DB'中点M4(a/2, a/2, a/2)

可见正方体四条对角线中点重合，即对角线交于一点，且互相平分；

（1）P(2,4)

（2）存在。

相似三角形的三个角分别相等。由于角AOB是直角，所以要使三角形ACP与三角形AOB相似，必须角APC或角PCA也是直角。

．当角APC=90度时，作CP垂直于AB于P。直线AB的斜率为-2，所以直线CP的斜率为1/2，又经过点C（2，0），所以直线CP的方程为y=1/2 X -1，再求直线AB和直线CP的交点即得的坐标（18/5，4/5）。

．当PCA=90度时，P点即线段AB中点，坐标为（2，4）