∫<1,2>dx∫<3,4>dy/(y-x)^2如何计算成∫<1,2>dx[-1/(y-x)]<3,4
- ∫<0,1>dy∫<y,√y)1/√(x^2+y^2)dx
- 计算∫（x+y）dx+(y-x)dy。其中L是先沿直线从（1，1）到（1，4），再沿直线从（1，4
- 计算∫L（（x+y)dx+(x-y)dy),其中L是抛物线y=x^2从点（0,0）到（1,1）的一段弧。
- 平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x,y=0 所围成,它的面密度u(x,y)=x+2y.
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∫<0,1>dy∫<y,√y)1/√(x^2+y^2)dx
解：原式=∫<0,π/4>dθ坐标变换)
=∫<0,π/4>dθ∫<0,sinθ/(cosθ)^2>dr
=∫<0,π/4>[sinθ/(cosθ)^2]dθ
=∫<0,π/4>[-1/(cosθ)^2]d(cosθ)
=1/cos(π/4)-1/cos0
=√2-1。
计算∫（x+y）dx+(y-x)dy。其中L是先沿直线从（1，1）到（1，4），再沿直线从（1，4
L由两段组成，一段L一的方程是x＝1，y从1到4。第二段L2的方程是y＝4，x从1到2。
原积分＝∫(1到4) (y-1)dy+∫(1到2) (x+4)dx＝9/2+11/2＝10。
计算∫L（（x+y)dx+(x-y)dy),其中L是抛物线y=x^2从点（0,0）到（1,1）的一段弧。
设P=x+y, Q=x-y
因为满足Q'x=P'y
所以原积分与路径无关，可以选择两点之间的线段M，y=x，x从0到1来进行积分。
原积分=∫(x+y)dx+(x-y)dy=∫M (x+x)dx+(x-x)dx=2∫(0->1) xdx=1
平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x,y=0 所围成,它的面密度u(x,y)=x+2y.
x+y=2 与 y=x 的交点 P(1,1),
(1) 薄皮质量 M = ∫∫<D>u(x,y)dxdy
= ∫<0,1>dy∫<y,2-y>(x+2y)dx
= ∫<0,1>dy[x^2/2+2yx]<x=y,x=2-y>
= ∫<0,1>(2+2y-4y^2)dy = [2y+y^2-4y^3/3]<0,1> = 5/3.
(2) 薄片质心坐标:
横坐标 = (1/M)∫∫<D>xu(x,y)dxdy
= (3/5)∫<0,1>dy∫<y,2-y>x(x+2y)dx
= (3/5)∫<0,1>dy[x^3/3+yx^2]<x=y,x=2-y>
= (3/5)∫<0,1>[8/3-2y^2-(2/3)y^3]dy
= (3/5)[8y/3-(2/3)y^3-(1/6)y^4]<0,1>
= (3/5)(11/6)=11/10
纵坐标 = (1/M)∫∫<D>yρ(x,y)dxdy
= (3/5)∫<0,1>dy∫<y,2-y>y(x+2y)dx
= (3/5)∫<0,1>ydy[x^2/2+2yx]<x=y,x=2-y>
= (3/5)∫<0,1>y(2+2y-4y^2)dy
= (3/5)∫<0,1>y(2+2y-4y^2)dy
= (3/5)[y^2+2y^3/3-y^4]<0,1> = (3/5)(2/3) = 2/5
薄片质心坐标 (11/10, 2/5)