线性代数向量组的秩，为什么线性无关的向量还可以表示其它的向量呢？极大线性无关组表示其他向量

为什么向量组的秩等于向量组个数时向量组就线性无关?

对于n个n维向量，如果向量组的秩等于向量组个数，那么向量组就是满秩的，其行列式不等于0。即每个向量都不能由别的向量线性表示，向量组就是线性无关的。

一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。向量组α1，α2，···，αs的秩记为R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。

扩展资料：

一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。

由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。

矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

参考资料来源：搜狗百科--向量组的秩

根据矩阵秩的定义，我们知道矩阵的列秩也是3，也就是A中存在3个线性无关的列向量

显然上述的三个列向量是非零的。假设这三个列向量为a1 a2 a3

再根据（E-A）A= O，必然有(E-A)a1 =0,(E-A)a2 =0,(E-A)a3 =0

也即是说(E-A)x=0有三个非零解，且解是线性无关的

因为是极大线性无关组，那么再加进去一个向量就变为线性相关了，存在不全为0的系数使得

c1 x1 + c2 x2 +...+cs xs + c x=0, x是其他向量

首先c肯定不等于0，否则由于x1-xs线性无关，c1-cs都是0

所以x=(c1/c)x1 + ...+(cs/c)xs可以线性表示

是的。

向量组的秩等于该向量组极大无关组中向量的个数，而线性无关向量组的极大无关组就是它本身，证毕。