高数极限的问题? 高数极限经典例题
高等数学极限的几个问题
(1)牛顿二项式定理展开得到e的表达式,即0到正无穷大的阶乘的倒数分之1。你找高数或者数学分析吧,这些都有。这个是要证明数列有界、收敛。
(2)第二题n趋于正无穷,n^2+1可以用n^2代替,无穷大量加有界量把有界量吸收掉。然后n*n分配给每一个ln,提到ln里面指数上,就会发现跟e很像,但是内部分子2,3,你做变形就好。
(3)n趋于正无穷,1被吸收舍掉,答案2/3
(4)sin n是有界量,1/n在n趋于正无穷时是无穷小,无穷小乘以有界量还是无穷小,无穷小极限0。
(5)该数列一正一负,比如-1,1,-1,1,-1,1……,极限不存在,但是绝对值的极限为1。
这些都是微积分比较基础的,建议参看微积分教材极限部分。
高等数学 基本初等函数的几个极限疑问
求极限的话,我在qq空间上总结了。如果还有疑问,欢迎私聊。
高等数学题目解法总结(1)
刚刚总结完数学思想方法,乘热打铁再来总结一下高数题的解法。
这里先总结极限的各种解法:(参考蔡老师的总结)
一.求函数的极限:
1.利用初等函数的连续性,把求函数极限转化为求函数在那一点处的值;
2.利用极限的运算法则,其中包括四则运算,复合函数运算,反函数运算,把函数进行转化拆分;
3.利用两个重要极限(由于水平有限,没办法在电脑上打出来那个符号,不好意思);
4.利用等价无穷小(轻武器,可以大量使用);
5.利用夹逼准则(虽然很少使用);
6.利用洛必达法则(最强大的大规模杀伤性武器,要谨慎使用:要注意使用前提,而且还有可能出现法则失效的情况);
7.利用泰勒公式,这种题目出现了就很难了,即使做得出来也得花上不少时间。所以要牢记那几个常见的麦克劳林公式,不然现场推导,花的时间更长。
注意点:等价无穷小的使用要满足四则运算的前提条件,作为因式时可以直接使用,但如果是多项式中的一个式子,则应该要检查是否满足和差替代规则的前提条件。但就个人经验而言,如果确实是等价无穷小时,一般情况下可以是用洛必达法则。另外,幂指函数的极限转化为初等函数,利用连续函数的性质把极限符号放进去算比较简单,而不必利用第二个重要极限。
二.求数列的极限:
1.通法是把数列极限转化为函数极限来求,这样做只要满足条件,算到的结果一定是正确的;
2.利用夹逼准则和单调有界准则;
3.利用极限的3种运算法则,见上。
高等数学函数极限问题
1.原则上说是可以分开之后展开,再对每个分式使用无穷小的
但是这需要你分开的两个式子的极限相减有意义才行
此处不然
其次看着你的等价无穷小有错
tanx~x
sinx~x
注意分母是(sinx)^3~x^3
因为
tanx/(sinx)^3 ~ x/x^3=1/x^2极限是正无穷
sinx/(sinx)^3 ~ x/x^3=1/x^2极限是正无穷
正无穷-正无穷是不定型
2.如果直接taylor展开到一定阶数也是可以的(一般不用)
但是由于分母的阶是x^3
你分子必须至少展开到x^3,才能保证不犯错。
3.正确做法:
tanx=sinx/cosx
原式上下同乘cosx
=(sinx-sinxcosx)/[(sinx)^3 cosx]
同除sinx (因为取极限,x≠0,只是趋向于0)
=(1-cosx)/[(sinx)^2 cosx]
此时再用等价无穷小
1-cosx~x^2/2
sinx~x
cosx~1
=(x^2/2)/[x^2*1]
=1/2
所以先尽可能化简,然后再等价无穷小,注意只有乘除可以用等价无穷小。
关于高数中极限的理解问题
极限的定义是准确无误的。因此,
用定义证明某一个数列的极限是多少的过程无疑是严谨的。
理解为是一个套路也无妨。但是,
例如想要证明 lim1/n=a≠0是不可能的。