共轭调和函数是什么 共轭调和函数是相互的吗

先说什么是调和函数,满足拉普拉斯方程的就是调和函数,但调和函数有很多,大部分没有关系,而如果两个调和函数恰好为解析函数的实部和虚部,那么就称他们为共轭调和函数,互相不独立,可以互相求解.

-u,设v的共轭调和函数为μ,他们应该满足柯西黎曼方程(这时v替代原来u,μ替代原来v):∂v/∂x=∂μ/∂y ∂v/∂y=-∂μ/∂x 再由原来的柯西黎曼方程 ∂u/∂x=∂v/∂y ∂u/∂y=-∂v/∂x 联立得:∂μ/∂y =-∂u/∂y ∂μ/∂x=-∂u/∂x 易知μ=-u

如果一条直线上有四个点,按次序分别为A、B、C、D,如果AC的长度是AB长与AD长的调和平均数,则称点A、C对点B、D调和共轭或点B、D对点A、C调和共轭,(调和共轭是相互的)(有些书上也叫A、C被B、D调和分离)

解析函数和共轭调和函数是互为充要的,而u,v是调和函数不一定解析,但是解析又u,v一定是调和函数.满足C-R方程的就称 v是u的共轭调和函数 ,但是调和函数呢,只要满足拉普拉斯算子就可以了. 公式: C-R方程: du/dx=dv/dy ,du/dy=-dv/dx 则v是u的共轭调和函数 (d为偏导) 拉普拉斯算子: u对x的二次偏导+u对y的二次偏导=0 (v也一样) 满足就为调和函数

e^a+1/e^a,如果a是实数其复共轭就是其本身,如果a=a+bi e^(a+bi)+e^(-a-bi)=e^a(cosb+isinb)+e^-a(cosb-isinb)=(e^a+e^-a)cosb+isinb(e^a-e^-a) 其复共轭就是(e^a+e^-a)cosb-isinb(e^a-e^-a),上面是实数也可归结到这一结果,是它b=0时的特殊情况.

应该不是吧.

一个函数有连续二阶偏导数,而且满足拉普拉斯方程.调和函数为u(x,y,z)且满足:u对x的二阶偏导数+u对y的二阶偏导数+u对z的二阶偏导数=0的函数f(x) = k/x*(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + .. + 1/n + .)

利用柯西黎曼方程,有u'x=2x+2y=v'y,故v=2xy+y^2+f(x),所以v'x=2y+f'(x)=-u'y=2y-2x,故f'(x)=-2x,g(x)=-x^2+c,所以v=2xy+y^2-x^2+c,又v(0,0)=c=1,所以v=2xy+y^2-x^2+1.

在某区域中满足拉普拉斯方程的函数.通常对函数本身还附加一些光滑性条件,例如有连续的一阶和二阶偏导数.当自变量为n个(从而区域是n维的)时,则称它为n维调和函数.例如,n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程

∵f(z)解析∴∂u/∂x=∂v/∂y ∂u/∂y=-∂v/∂x两边同时*i,即∂iu/∂x=∂iv/∂y ∂iu/∂y=-∂iv/∂x即if(z)=-v+iu也是解析的. 同理由其CR条件得∂u/∂y=-∂v/∂x ∂u/∂y=∂v/∂x整理,即∂-u/∂y=∂v/∂x ∂-u/∂y=-∂v/∂x即-u是v的共轭调和函数