定积分求体积 微元法在定积分中的应用

• 定积分求体积公式
• 定积分求体积的公式是什么，详细讲一下谢谢！
• 定积分的应用求体积
• 用定积分求球的体积

定积分求体积公式

由于绕y轴旋,所以以y为积分变量

函数变为x=√y

根据0<=x<=1

0<=y<=1

∮π(√y)^2dy

=π∮ydy

=π( y^2/2)代入积分区间

=π( 1^2/2-0^2/2)

=π/2

定积分求体积的公式是什么，详细讲一下谢谢！

一言难尽！

定积分计算体积的方法，至少有几十种，最常见的方法有两种：

1、圆盘法 disk method

这在英联邦的高中、美国的中学生的AP考试中，是经常考的。

思想是：圆盘的面积 = πr²，然后乘以厚度 dx 或 dy，积分即可。

2、壳层法 shell method

这在美国中学生的AP考试中，也是经常考的。

思想是：壳层的面积，乘以厚度 dx、或 dy、或 dr，然后积分即可。

这两种方法，在国内的初高中是绝对不会考的，一定是大学内容，

我们落后了将近100年。

定积分的应用求体积

所求旋转体体积=∫π[(√x)²-(x²)²]dx

=π∫(x-x^4)dx

=π(x²/2-x^5/5)│

=π(1/2-1/5)

=3π/10.

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用定积分求球的体积

将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等。等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好求。就是半球体积了。V＝2/3πR^3 。因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的。圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，根据积分公式可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3