高等数学，如下图，收敛数列的题目？有界数列必有收敛子列

证明下列数列收敛并求其极限：a1=1,a(n+1)=1+an/(1+an),(n=1,2……

首先用数学归纳法证明an>=1

1）当n=1时a1=1，满足

2）假设n=k时a(k)>0，则a(k+1)=1+a(k)/(1+a(k))>0

所以命题成立，即对于任意n都有an>=1

a(n+1)=1+a(n)/(1+a(n))<1+1=2，而且a1=1<2。则对于任意n都有a(n)<2

则a(n+1)-a(n)=1+an/(1+an)-an=(2-a(n))+1/(1+a(n))>0

所以对于任意n都有a(n+1)>an，即数列{an}单调递增

数列单调递增且有上界2，所以数列收敛

假设极限为A，根据a(n+1)=1+an/(1+an)得到：A=1+A/(1+A) （因为A=lim a(n+1)=lim a(n)）

即A^2-A-1=0，又因为1<=A<2，解得：A=(1+√5)/2，所以极限为(1+√5)/2

他这里收敛是说数列各项之和和函数收敛，和函数要收敛，越到后面数就要越小否则怎么收敛

通俗的讲，数列的极限就是该数列最终趋向的数。

比如第一小题，当n趋向于无穷时，可以把2^n看做n的函数，由该函数性质知n=∞时，2^n=∞，它的倒数就是0，因此xn的极限是0；存在极限即为收敛数列。

再比如第八小题，由于n为偶数时，

；n为奇数时，xn=0，当n=∞时，极限为0。2和0不等，不存在是所有数趋向的那个数，因此不存在极限，数列发散。

其它小题均可仿照分析。

我不知道你那什么30页的意思，收敛数列与其子数列间的关系的证明意思是这样：

只要n>N，那么是|Xn-a|<e，现在对于子数列，只要下标>N，就有该不等式，于是：

取K=N，则当k>K时，nk>nK=nN≥N，于是|Xnk-a|<e 这里nk就是下标