收敛数列是有界数列吗 收敛数列的极限是唯一的

因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数, n>N时,都有 (n>N),从而有 . 取,则对一切的n,都有,所以数列有界. 根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意:有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.

收敛数列,设数列{Xn},如果存在常数a(只有一个),对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|<q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列.有界数列,是数学领域的定理,是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列.有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间,其中分上界和下界.扩展资料:收敛数列与其子数列间的关系:子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M 若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.如果数列{}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.

这不是已被证明的定理吗?既然收敛,那么从某项(第 N 项)开始,后面的项都集中在极限附近 ,因此有界,而前面的项是有限项,显然也有界,因此整个数列一定有界 .

收敛一定有界,有界当然不一定收敛. 单调有界序列收敛在实数列时是成立的,因为这需要利用实数的连续性.一般的度量空间中不成立,比如有理数列就不成立.

首先要搞清楚有界和收敛的概念 数列收敛是说它的极限是a,即无限趋近于a.数列有界是说它的值域控制在一个确定的范围内.反例:当有界数列 {xn}为摇摆数列时,如0,1,0,1,0,1,0,1…………时相乘后的数列就不在只趋近一个值了,所以不再存在极限,所以也不再是收敛数列

设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,使得当n>M时|a[n]-a|我具体证明不会,但可以用一个特殊情况来验证这个功利的正确性,因为找不到反例推翻这个结论,找.

因为数列Xn收敛,设Xn收敛于a,根据数列极限的定义,对于ε=1,E正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/<1都成立.于是,当n>N,/Xn/=/(Xn-a)+a / <= / Xn-a / + / a / <1+ / a/ 取M=max( / X1 / , / X2 / ,……. /XN/,1+ / a / ),那么数列Xn的一切xn都满足不等式/Xn/<=M 这就证明了数列Xn是有界的

数列的有界性: 定义:对数列xn,若存在正数m,使得一切自然数n,恒有lxnl≤m成立,则称数列xn有限,否则,称为无限. 例如,数列xn=n/(n+1) 有界;数列xn=2^n无界. 数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间【-m,m】上. 收敛的数列比必有界. 证:设数列xn的极限为a,有定义,取ε=1, 则对任意的n,使得当n>n时恒有lxn-al<1, 即有a-1<xn<a+1. 记m=max{lx1l,…,lxnl,la-1l,la+1l},则对一切自然数皆有lxnl≤m,故{xn}有界. 注意:有界性是数列收敛的必要条件.

这很好理解啊 所谓收敛就是说它有极限 既然是有极限值那肯定是有界的 但是有边界的不意味着它有极限值 如(-1)n次方,它是在震荡 所以不是收敛的

定义:若存在两个数A,B(设A<B),数列 中的每一项都在闭区间[A,B]内,亦即 ,则称 为有界数列.这时A称为它的下界,B称为它的上界 关于函数f(x)在点x0处的收敛定义.对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b. 此时M只是一个存在的数,可以找到一个这样的数使得|f(x1)-f(x2)|<M成立